Questão:
Dados (valores de média e desvio padrão) do INEP para as notas de matemática no ENEM 2022 de 2 estados brasi leiros foram utilizados para simular amostras das notas dos alunos destes 2 estados (procedimento equivalente a uma amostragem aleatória entre a população de alunos de cada um destes estados). Ressalte-se que a distribuição destas notas é normal.
Faça um teste de hipótese com
para definir se a média das notas de matemática no ENEM 2022 do estado 2 é superior à do estado 1 considerando as 2 amostras acima com 6 dados cada. (3 pontos)
Dados (valores de média e desvio padrão) do INEP para as notas de matemática no ENEM 2022 de 2 estados brasi leiros foram utilizados para simular amostras das notas dos alunos destes 2 estados (procedimento equivalente a uma amostragem aleatória entre a população de alunos de cada um destes estados). Ressalte-se que a distribuição destas notas é normal.
Faça um teste de hipótese com
Passo 1
O que o enunciado pede: fazer um teste de hipótese com nível de significância
para verificar se a média das notas de matemática no ENEM 2022 do estado 2 é superior à do estado 1, usando duas amostras com
observações cada.
Informações fornecidas no enunciado que são relevantes e que eu usei aqui:
- As notas têm distribuição normal (o enunciado diz explicitamente).
- Há duas amostras simuladas, cada uma com
e observações (o enunciado diz “considerando as 2 amostras acima com 6 dados cada”). - A tarefa é um teste unilateral (provar que média do estado 2 é superior à do estado 1) com
.
Informação que falta e que é crucial para calcular o valor numérico do teste:
- Os valores efetivos das amostras (os 6 números de cada estado), ou ao menos as médias amostrais
e os desvios-padrão amostrais . Sem essas quantidades não é possível calcular o valor do teste nem o -valor numérico.
Observação importante: como o enunciado não trouxe essas amostras nem os resumos numéricos, eu não posso fornecer um valor numérico final do teste. A seguir eu explico, passo a passo e didaticamente, como você faria o teste na prova assim que tiver esses números.
Passo 2
Definição clara das hipóteses (teste unilateral, “estado 2 superior a estado 1”):
Explicação:
e
são as verdadeiras médias das notas de matemática da população dos alunos dos estados 1 e 2, respectivamente. A hipótese alternativa diz que a média do estado 2 é maior.
Regra de decisão em palavras: rejeitamos
(aceitamos que a média do estado 2 é superior) se a evidência amostral for forte o bastante — numericamente, se o estatístico de teste exceder um valor crítico ou se o
-valor for menor que
.
Passo 3
Escolha do tipo de teste (por que usar esse teste):
- As amostras são pequenas (
), e o enunciado garante normalidade, o que permite usar testes baseados na distribuição . - Como o enunciado não informou que as variâncias populacionais são conhecidas, e também não informou que as variâncias dos dois estados são iguais, a opção mais segura e geral é usar o teste
de duas amostras de Welch (teste sem assumir variâncias iguais). Esse é o método que eu vou descrever passo a passo porque é aplicável na maioria dos casos práticos quando variâncias são desconhecidas.
Breve comparação com outras opções (para você saber quando usar cada uma):
- Se as variâncias populacionais fossem conhecidas: usaríamos um teste z (raríssimo em prática).
- Se as variâncias populacionais fossem desconhecidas mas se justificasse assumir igualdade de variâncias (verificável com teste F ou conhecimento prévio), poderíamos usar o t de duas amostras com variância agrupada (pooled). Mas Welch é mais robust quando não temos essa certeza.
Passo 4
Fórmula do estatístico de teste (teste t de Welch) e definição dos termos:
onde
-
é a média amostral do estado 1 (média dos 6 valores do estado 1); -
é a média amostral do estado 2 (média dos 6 valores do estado 2); -
é a variância amostral do estado 1 (estimador não viesado: somatório dos quadrados das diferenças em relação à média dividido por ); -
é a variância amostral do estado 2 (mesma definição); -
e .
Explicação passo a passo de cada termo e como calcular na prova sem calculadora (ou com calculadora, se permitida):
- Calcule
para . (Some os 6 números e divida por 6.) - Calcule a variância amostral
. (Subtraia a média de cada observação, eleve ao quadrado, some, e divida por .) - Substitua esses valores na fórmula do numerador e denominador para obter
.
Passo 5
Grau de liberdade aproximado (fórmula de Welch) — como obter o ponto crítico corretamente:
A distribuição do segue aproximadamente uma distribuição
com graus de liberdade
dados pela fórmula de Welch-Satterthwaite:
A distribuição do
Passos práticos:
- Calcule
e . - Calcule
. - Arredonde
para um número real (ou tome o inteiro mais próximo se for usar tabela de ). Com tabelas, costuma-se arredondar para baixo (mais conservador) ou usar o valor mais próximo.
Como usar
: para um teste unilateral com
, o valor crítico é
(quantil da distribuição
com
graus de liberdade que deixa
na cauda superior). Rejeitamos
se
. Alternativamente, calcule o
-valor e compare com
.
Passo 6
Cálculo do
-valor e decisão:
- O
-valor para o teste unilateral é
onde
tem distribuição
com
graus de liberdade calculados no passo anterior.
- Regra: rejeitar
se . Equivalentemente, rejeitar se onde .
Como obter
sem calculadora científica:
- Use uma tabela
com graus de liberdade aproximados (ou o inteiro mais próximo). - Localize o valor
na linha de e veja a probabilidade correspondente; se não estiver exato, compare com os valores da tabela para achar um intervalo aproximado. - Se usar software (R, Python) ou calculadora estatística, compute diretamente a função de distribuição complementar da
.
Passo 7
Interpretação prática do resultado (o que escrever na prova):
- Se rejeitar
: você conclui que há evidência estatística, ao nível de , para afirmar que a média das notas de matemática do estado 2 é superior à do estado 1. Em palavras: “Com nível de significância , os dados fornecem evidência de que .” - Se não rejeitar
: concluímos que não há evidência suficiente nos dados para afirmar que a média do estado 2 é maior; isso não prova que as médias são iguais, apenas que os dados não mostraram evidência estatística suficiente.
Lembre-se de relatar:
- O valor de
, - os graus de liberdade
, - o
-valor (ou o intervalo em que ele se encontra, se usar tabela), - a decisão (rejeitar ou não rejeitar
), - uma interpretação em linguagem corrente.
Passo 8
Exemplo simbólico (forma de aplicar numericamente quando você tiver os números) — roteiro que você pode seguir na prova passo a passo:
- Calcule
e . - Calcule
e com divisor . - Calcule o denominador
. - Calcule
. - Calcule
pela fórmula de Welch. - Obtenha
na tabela de ou calcule com software. - Compare
com ou compare com . - Escreva a conclusão com os números.
Dica prática: com amostras tão pequenas (
), o correto cálculo de
(dividindo por
) e a conta direitinho do denominador fazem diferença — não arredonde demais no meio das contas.
Passo 9
O que eu posso fazer agora por você: eu já te dei o roteiro completo, fórmulas e interpretação. Se você colar aqui as duas amostras (os 6 valores de cada estado) ou só as médias e desvios-padrão amostrais (
), eu aplico imediatamente esse procedimento e te mostro todas as contas passo a passo até a conclusão numérica. Se preferir, eu também faço inclusive o cálculo do tamanho do efeito (por exemplo,
de Cohen) e uma interpretação prática.
Resposta
Não é possível fornecer a resposta numérica do teste porque os valores das duas amostras (ou as médias e desvios-padrão amostrais) não foram fornecidos no enunciado.