2{ }^{\text {a }} Questão:
Dados (valores de média e desvio padrão) do INEP para as notas de matemática no ENEM 2022 de 2 estados brasi leiros foram utilizados para simular amostras das notas dos alunos destes 2 estados (procedimento equivalente a uma amostragem aleatória entre a população de alunos de cada um destes estados). Ressalte-se que a distribuição destas notas é normal.
Faça um teste de hipótese com \alpha=5 \% para definir se a média das notas de matemática no ENEM 2022 do estado 2 é superior à do estado 1 considerando as 2 amostras acima com 6 dados cada. (3 pontos)

Passo 1

O que o enunciado pede: fazer um teste de hipótese com nível de significância \alpha=5\% para verificar se a média das notas de matemática no ENEM 2022 do estado 2 é superior à do estado 1, usando duas amostras com 6 observações cada.
Informações fornecidas no enunciado que são relevantes e que eu usei aqui:
  • As notas têm distribuição normal (o enunciado diz explicitamente).
  • Há duas amostras simuladas, cada uma com n_1=6 e n_2=6 observações (o enunciado diz “considerando as 2 amostras acima com 6 dados cada”).
  • A tarefa é um teste unilateral (provar que média do estado 2 é superior à do estado 1) com \alpha=0{,}05.
Informação que falta e que é crucial para calcular o valor numérico do teste:
  • Os valores efetivos das amostras (os 6 números de cada estado), ou ao menos as médias amostrais \bar X_1,\bar X_2 e os desvios-padrão amostrais s_1,s_2. Sem essas quantidades não é possível calcular o valor do teste nem o p-valor numérico.
Observação importante: como o enunciado não trouxe essas amostras nem os resumos numéricos, eu não posso fornecer um valor numérico final do teste. A seguir eu explico, passo a passo e didaticamente, como você faria o teste na prova assim que tiver esses números.

Passo 2

Definição clara das hipóteses (teste unilateral, “estado 2 superior a estado 1”):
H_0:\\ \mu_2 \le \mu_1
H_a:\\ \mu_2 > \mu_1
Explicação: \mu_1 e \mu_2 são as verdadeiras médias das notas de matemática da população dos alunos dos estados 1 e 2, respectivamente. A hipótese alternativa diz que a média do estado 2 é maior.
Regra de decisão em palavras: rejeitamos H_0 (aceitamos que a média do estado 2 é superior) se a evidência amostral for forte o bastante — numericamente, se o estatístico de teste exceder um valor crítico ou se o p-valor for menor que \alpha=0{,}05.

Passo 3

Escolha do tipo de teste (por que usar esse teste):
  • As amostras são pequenas ( n_1=n_2=6), e o enunciado garante normalidade, o que permite usar testes baseados na distribuição t.
  • Como o enunciado não informou que as variâncias populacionais são conhecidas, e também não informou que as variâncias dos dois estados são iguais, a opção mais segura e geral é usar o teste t de duas amostras de Welch (teste t sem assumir variâncias iguais). Esse é o método que eu vou descrever passo a passo porque é aplicável na maioria dos casos práticos quando variâncias são desconhecidas.
Breve comparação com outras opções (para você saber quando usar cada uma):
  • Se as variâncias populacionais fossem conhecidas: usaríamos um teste z (raríssimo em prática).
  • Se as variâncias populacionais fossem desconhecidas mas se justificasse assumir igualdade de variâncias (verificável com teste F ou conhecimento prévio), poderíamos usar o t de duas amostras com variância agrupada (pooled). Mas Welch é mais robust quando não temos essa certeza.

Passo 4

Fórmula do estatístico de teste (teste t de Welch) e definição dos termos:
t_{\text{obs}} \;=\; \frac{\bar X_2 - \bar X_1}{\sqrt{\dfrac{s_1^{2}}{n_1}+\dfrac{s_2^{2}}{n_2}}}
onde
  • \bar X_1 é a média amostral do estado 1 (média dos 6 valores do estado 1);
  • \bar X_2 é a média amostral do estado 2 (média dos 6 valores do estado 2);
  • s_1^{2} é a variância amostral do estado 1 (estimador não viesado: somatório dos quadrados das diferenças em relação à média dividido por n_1-1);
  • s_2^{2} é a variância amostral do estado 2 (mesma definição);
  • n_1=6 e n_2=6.
Explicação passo a passo de cada termo e como calcular na prova sem calculadora (ou com calculadora, se permitida):
  1. Calcule \bar X_i = \dfrac{1}{n_i}\sum_{j=1}^{n_i} X_{ij} para i=1,2. (Some os 6 números e divida por 6.)
  2. Calcule a variância amostral s_i^{2} = \dfrac{1}{n_i-1}\sum_{j=1}^{n_i} (X_{ij}-\bar X_i)^2. (Subtraia a média de cada observação, eleve ao quadrado, some, e divida por n_i-1=5.)
  3. Substitua esses valores na fórmula do numerador e denominador para obter t_{\text{obs}}.

Passo 5

Grau de liberdade aproximado (fórmula de Welch) — como obter o ponto crítico corretamente:
A distribuição do t_{\text{obs}} segue aproximadamente uma distribuição t com graus de liberdade \nu dados pela fórmula de Welch-Satterthwaite:
\nu \approx \frac{\left(\dfrac{s_1^{2}}{n_1}+\dfrac{s_2^{2}}{n_2}\right)^{2}}{\dfrac{\left(s_1^{2}/n_1\right)^{2}}{n_1-1}+\dfrac{\left(s_2^{2}/n_2\right)^{2}}{n_2-1}}.
Passos práticos:
  1. Calcule A=\dfrac{s_1^{2}}{n_1} e B=\dfrac{s_2^{2}}{n_2}.
  2. Calcule \nu \approx \dfrac{(A+B)^2}{\dfrac{A^2}{n_1-1}+\dfrac{B^2}{n_2-1}}.
  3. Arredonde \nu para um número real (ou tome o inteiro mais próximo se for usar tabela de t). Com tabelas, costuma-se arredondar para baixo (mais conservador) ou usar o valor mais próximo.
Como usar \nu: para um teste unilateral com \alpha=0{,}05, o valor crítico é t_{\text{crit}} = t_{1-\alpha,\nu} (quantil da distribuição t com \nu graus de liberdade que deixa 5\% na cauda superior). Rejeitamos H_0 se t_{\text{obs}} > t_{\text{crit}}. Alternativamente, calcule o p-valor e compare com 0{,}05.

Passo 6

Cálculo do p-valor e decisão:
  • O p-valor para o teste unilateral é
p = P\big(T_{\nu} > t_{\text{obs}}\big),
onde T_{\nu} tem distribuição t com \nu graus de liberdade calculados no passo anterior.
  • Regra: rejeitar H_0 se p < 0{,}05. Equivalentemente, rejeitar se t_{\text{obs}} > t_{\text{crit}} onde t_{\text{crit}} = t_{0{,}95,\nu}.
Como obter p sem calculadora científica:
  • Use uma tabela t com \nu graus de liberdade aproximados (ou o inteiro mais próximo).
  • Localize o valor t_{\text{obs}} na linha de \nu e veja a probabilidade correspondente; se não estiver exato, compare com os valores da tabela para achar um intervalo aproximado.
  • Se usar software (R, Python) ou calculadora estatística, compute diretamente a função de distribuição complementar da t.

Passo 7

Interpretação prática do resultado (o que escrever na prova):
  • Se rejeitar H_0: você conclui que há evidência estatística, ao nível de 5\%, para afirmar que a média das notas de matemática do estado 2 é superior à do estado 1. Em palavras: “Com nível de significância 5\%, os dados fornecem evidência de que \mu_2>\mu_1.”
  • Se não rejeitar H_0: concluímos que não há evidência suficiente nos dados para afirmar que a média do estado 2 é maior; isso não prova que as médias são iguais, apenas que os dados não mostraram evidência estatística suficiente.
Lembre-se de relatar:
  • O valor de t_{\text{obs}},
  • os graus de liberdade \nu,
  • o p-valor (ou o intervalo em que ele se encontra, se usar tabela),
  • a decisão (rejeitar ou não rejeitar H_0),
  • uma interpretação em linguagem corrente.

Passo 8

Exemplo simbólico (forma de aplicar numericamente quando você tiver os números) — roteiro que você pode seguir na prova passo a passo:
  1. Calcule \bar X_1 e \bar X_2.
  2. Calcule s_1^2 e s_2^2 com divisor n_i-1=5.
  3. Calcule o denominador \sqrt{\dfrac{s_1^{2}}{6}+\dfrac{s_2^{2}}{6}}.
  4. Calcule t_{\text{obs}}=\dfrac{\bar X_2-\bar X_1}{\text{denominador}}.
  5. Calcule \nu pela fórmula de Welch.
  6. Obtenha t_{0{,}95,\nu} na tabela de t ou calcule p com software.
  7. Compare t_{\text{obs}} com t_{0{,}95,\nu} ou compare p com 0{,}05.
  8. Escreva a conclusão com os números.
Dica prática: com amostras tão pequenas ( n=6), o correto cálculo de s_i^2 (dividindo por 5) e a conta direitinho do denominador fazem diferença — não arredonde demais no meio das contas.

Passo 9

O que eu posso fazer agora por você: eu já te dei o roteiro completo, fórmulas e interpretação. Se você colar aqui as duas amostras (os 6 valores de cada estado) ou só as médias e desvios-padrão amostrais ( \bar X_1,\bar X_2,s_1,s_2), eu aplico imediatamente esse procedimento e te mostro todas as contas passo a passo até a conclusão numérica. Se preferir, eu também faço inclusive o cálculo do tamanho do efeito (por exemplo, d de Cohen) e uma interpretação prática.

Resposta

Não é possível fornecer a resposta numérica do teste porque os valores das duas amostras (ou as médias e desvios-padrão amostrais) não foram fornecidos no enunciado.

Exercícios relacionados