Dados os valores nodais de temperatura de uma barra de comprimento 1,0 m obtidos pelo MEF por meio de uma malha com 2 elementos lineares de igual comprimento:
U1=100,0^circ C, U2=91,25^circ C e U3=90,00^circ C,
determine o erro da solução na norma L^2(Omega) por meio da quadratura de Gauss-Legendre. A solução exata da distribuição de temperatura ao longo da barra é .

Passo 1

O problema pede o erro no espaço L² entre a solução do MEF (aproximação linear em dois elementos de tamanho igual) e a solução exata T(x)=10x³–20x+100 num intervalo Ω=[0,1]. Vamos usar norma L² definida por |e|L^2(Omega)=raizintegral0^1 (Uh(x)-T(x))^2,dx e avaliar a integral por quadratura de Gauss-Legendre de 2 pontos em cada elemento.

Passo 2

No elemento 1 com domíni0 x∈[0,0.5], as funções de forma são N1(x)=1-2x e N2(x)=2x. Assim
Uh(x)=U1N1+U2N2=100(1-2x)+91.25(2x)=100-17.5x

Passo 3

Aí o erro local é e(x)=Uh(x)-T(x)=(100-17.5x)-(10x^3-20x+100)=2.5x-10x^3
Para a quadratura de 2 pontos em [0,0.5] o Jacobiano é J=(0.5-0)/2=0.25 e os nós padrões r=±1/√3 mapeiam para
x1,2=0.25l(1mptfrac1raiz3r)approx0.10566,;0.39434

Passo 4

Avalia-se e^2 nesses pontos:
e(0.10566)^2approx0.06369, e(0.39434)^2approx0.13902

Passo 5

Contribuição do elemento 1:
I1=Jl(0.06369+0.13902r)approx0.25times0.20271=0.05068

Passo 6

No elemento 2 com x∈[0.5,1], as formas são N1(x)=2(1-x), N2(x)=2(x-0.5), logo
Uh(x)=91.25cdot2(1-x)+90cdot2(x-0.5)=92.5-2.5x

Passo 7

Erro local: e(x)=(92.5-2.5x)-(10x^3-20x+100)=-7.5+17.5x-10x^3
Nós da quadratura são x1,2=0.75mp0.25/raiz3approx0.60566,;0.89434 e J=0.25. Avaliando e^2:
e(0.60566)^2approx0.76828, e(0.89434)^2approx0.99471

Passo 8

Contribuição do elemento 2:
I2=0.25l(0.76828+0.99471r)=0.25times1.7630=0.44076

Passo 9

Somando as duas contribuições e tirando raiz:
|e|L^2(Omega)=raizI1+I2=raiz0.05068+0.44076=raiz0.49144approx0.70

Resposta

|e|L^2(Omega)approx0.70,^circC

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