Dados os valores nodais de temperatura de uma barra de comprimento
obtidos pelo MEF por meio de uma malha com 2 elementos lineares de igual comprimento:
determine o erro da solução na norma
por meio da quadratura de Gauss-Legendre. A solução exata da distribuição de temperatura ao longo da barra é
.
Passo 1
O problema pede o erro no espaço L² entre a solução do MEF (aproximação linear em dois elementos de tamanho igual) e a solução exata T(x)=10x³–20x+100 num intervalo Ω=[0,1]. Vamos usar norma L² definida por
e avaliar a integral por quadratura de Gauss-Legendre de 2 pontos em cada elemento.
Passo 2
No elemento 1 com domíni0 x∈[0,0.5], as funções de forma são
e
. Assim
Passo 3
Aí o erro local é
Para a quadratura de 2 pontos em [0,0.5] o Jacobiano é e os nós padrões r=±1/√3 mapeiam para
Para a quadratura de 2 pontos em [0,0.5] o Jacobiano é
Passo 4
Avalia-se
nesses pontos:
Passo 5
Contribuição do elemento 1:
Passo 6
No elemento 2 com x∈[0.5,1], as formas são
,
, logo
Passo 7
Erro local:
Nós da quadratura são e
. Avaliando
:
Nós da quadratura são
Passo 8
Contribuição do elemento 2:
Passo 9
Somando as duas contribuições e tirando raiz: