Nos exercícios 39 a 46, encontrar a integral que dá o comprimento total da curva dada.
r=4+2 sen theta

Passo 1

O enunciado pede o comprimento total da curva dada em coordenadas polares por r=4+2sintheta. O conteúdo é comprimento de arco em coordenadas polares e vamos usar a fórmula que envolve r(theta) e sua derivada.

Passo 2

A fórmula geral do comprimento de arco em coordenadas polares é
L=integraltheta1^theta2raizr(theta)^2+l(r'(theta)r)^2,dtheta
Aqui os limites cobrem toda a curva, que é certa de 0 a 2pi.

Passo 3

Calculamos a derivada de r:
r(theta)=4+2sintheta
r'(theta)=2costheta

Passo 4

Substituímos na fórmula:
L=integral0^2piraiz(4+2sintheta)^2+(2costheta)^2,dtheta

Passo 5

Podemos simplificar o integrando:
(4+2sintheta)^2+(2costheta)^2=16+16sintheta+4sin^2theta+4cos^2theta=20+16sintheta
Logo:
L=integral0^2piraiz20+16sintheta,dtheta=2integral0^2piraiz5+4sintheta,dtheta

Resposta

L=integral0^2piraiz(4+2sintheta)^2+(2costheta)^2,dtheta=2integral0^2piraiz5+4sintheta,dtheta

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