Seja
a função seguinte
- Achar o dominio de
.
- Estudar o sinal da função.
- Achar as assintotas verticais.
- Calcule
e
.
- Esboçar o grafico de
(com todas as assintotas).
Passo 1
O enunciado pede para estudar a função racional
Deve-se encontrar: o domínio, o sinal da função, as assíntotas verticais, os limites em ±∞ e, por fim, esboçar o gráfico com todas as assíntotas. Vamos usar fatoração de polinômios, diagrama de sinais e limites de polinômios no infinito.
Passo 2
Para achar o domínio, igualamos o denominador a zero e excluímos essas raízes de
. Resolvendo
o discriminante é
, dando as raízes
Portanto
[
\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus{-2,\tfrac12}.
\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus{-2,\tfrac12}.
Passo 3
Para estudar o sinal, fatoramos numerador e denominador:
Os zeros dos fatores são
Fazendo o diagrama de sinais nos intervalos
descobrimos:
f é positiva em e negativa em
.
descobrimos:
f é positiva em
Passo 4
As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador zera e o numerador não zera. Em
e
o numerador é não nulo, logo
Próximo ao ponto
temos
ao nos aproximarmos pela esquerda e
pela direita; em
ocorre o comportamento inverso.
Passo 5
Para os limites em ±∞, como grau do numerador e do denominador é 2, vale o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau:
Isto define a assíntota horizontal
.
Passo 6
Com todas essas informações — domínio, zeros em
e
, sinais nos intervalos, assíntotas verticais em
e assíntota horizontal em
— podemos esboçar o gráfico. Basta desenhar as retas
,
e
, marcar onde a curva corta o eixo
e o eixo
(em
), e ligar respeitando o diagrama de sinais e o comportamento assintótico.
Resposta
- Domínio:
. 2) Sinal: em e em . 3) Assíntotas verticais em e . 4) e (assíntota horizontal ). 5) Gráfico: curve-se nas três faixas do diagrama de sinal, aproximando-se das retas , e , com raízes em e , intercepto em .