Seja f a função seguinte
f: Dom(f) & R x & 4 x^2-x-32 x^2+3 x-2
  1. Achar o dominio de f.
  2. Estudar o sinal da função.
  3. Achar as assintotas verticais.
  4. Calcule lim x +infty f(x) e lim x -infty f(x).
  5. Esboçar o grafico de f (com todas as assintotas).

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função racional
f(x)=4x^2 - x - 32x^2 + 3x - 2
Deve-se encontrar: o domínio, o sinal da função, as assíntotas verticais, os limites em ±∞ e, por fim, esboçar o gráfico com todas as assíntotas. Vamos usar fatoração de polinômios, diagrama de sinais e limites de polinômios no infinito.

Passo 2

Para achar o domínio, igualamos o denominador a zero e excluímos essas raízes de R. Resolvendo
2x^2 + 3x - 2 = 0,
o discriminante é De, dando as raízes
x = -3 pm 54;Rightarrow;x = -2,;x=tfrac12
Portanto
[
\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus{-2,\tfrac12}.

Passo 3

Para estudar o sinal, fatoramos numerador e denominador:
4x^2 - x - 3 = (4x + 3)(x - 1),
2x^2 + 3x - 2 = (2x - 1)(x + 2)
Os zeros dos fatores são
4x+3=0Rightarrow x=-tfrac34, x-1=0Rightarrow x=1, 2x-1=0Rightarrow x=tfrac12, x+2=0Rightarrow x=-2
Fazendo o diagrama de sinais nos intervalos
( -infty,-2),(-2,-tfrac34),(-tfrac34,tfrac12),(tfrac12,1),(1,+infty)
descobrimos:
f é positiva em ( -infty,-2),(-tfrac34,tfrac12),(1,+infty) e negativa em (-2,-tfrac34),(tfrac12,1).

Passo 4

As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador zera e o numerador não zera. Em x=-2 e x=tfrac12 o numerador é não nulo, logo
assíntotas verticais em x=-2 e x=tfrac12 í
Próximo ao ponto x=-2 temos f(x)to+infty ao nos aproximarmos pela esquerda e f(x)to-infty pela direita; em x=tfrac12 ocorre o comportamento inverso.

Passo 5

Para os limites em ±∞, como grau do numerador e do denominador é 2, vale o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau:
limxto+inftyf(x)=limxto-inftyf(x)=42=2
Isto define a assíntota horizontal y=2.

Passo 6

Com todas essas informações — domínio, zeros em x=-tfrac34 e x=1, sinais nos intervalos, assíntotas verticais em x=-2,tfrac12 e assíntota horizontal em y=2 — podemos esboçar o gráfico. Basta desenhar as retas x=-2, x=tfrac12 e y=2, marcar onde a curva corta o eixo x e o eixo y (em f(0)=tfrac-3-2=1.5), e ligar respeitando o diagrama de sinais e o comportamento assintótico.

Resposta

  1. Domínio: Rsetminus-2,tfrac12. 2) Sinal: f(x)>0 em ( -infty,-2),(-tfrac34,tfrac12),(1,+infty) e f(x)<0 em (-2,-tfrac34),(tfrac12,1). 3) Assíntotas verticais em x=-2 e x=tfrac12. 4) limxto+inftyf(x)=2 e limxto-inftyf(x)=2 (assíntota horizontal y=2). 5) Gráfico: curve-se nas três faixas do diagrama de sinal, aproximando-se das retas x=-2, x=tfrac12 e y=2, com raízes em x=-tfrac34 e x=1, intercepto em (0,1.5).

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