O modelo de elementos finitos de um problema de condução de calor em regime permanente unidimensional a partir de uma malha com 3 elementos lineares fornece os seguintes valores nodais de temperatura: U1=-10,0^circ C, U2=-8,60 ^circ C, U3=-6,40^circ C e U4=-3,40^circ C. Sendo a solução exata dada por L^2(Omega), determine o erro da solução de elementos finitos na norma .

Passo 1

Relembrando o enunciado: temos um problema unidimensional de condução de calor em regime permanente com 3 elementos lineares e 4 nós, cujos valores nodais de temperatura são U₁=–10, U₂=–8,6, U₃=–6,4 e U₄=–3,4 (em °C). A solução exata é dada por T(x)=10x²+5x–10. Queremos o erro na norma L², isto é, |e|L^2(Omega)=raizintegralOmega(Uh(x)-T(x))^2,dx.

Passo 2

Precisamos das coordenadas nodais. Como T(x_i)=U_i, resolvemos 10x_i²+5x_i–10=U_i e obtemos x₁=0, x₂=0,2, x₃=0,4 e x₄=0,6. Logo o domínio é Omega=[0,0.6] e cada elemento tem comprimento h=0,2.

Passo 3

Definimos em cada elemento a interpolação linear U_h(x):
Elemento 1 (0≤x≤0,2):
Uh(x)=-10+U2-U10.2,x=-10+7x
Elemento 2 (0,2≤x≤0,4):
Uh(x)=-8.6+11(x-0.2)=11x-10.8
Elemento 3 (0,4≤x≤0,6):
Uh(x)=-6.4+15(x-0.4)=15x-12.4

Passo 4

Construímos a função de erro em cada elemento: e_i(x)=U_h(x)-T(x). Assim temos
e1(x)=2x-10x^2,
e2(x)=-10x^2+6x-0.8,
e3(x)=-10x^2+10x-2.4

Passo 5

O termo na norma L² em cada elemento é
Ii=integralxi^xi+1(ei(x))^2,dx
Expandindo e integrando polinomialmente em cada intervalo [0,0.2], [0.2,0.4] e [0.4,0.6], encontra-se numericamente
I1approx0.0010667,
I2approx0.0010667,
I3approx0.0010667

Passo 6

Somando as contribuições e tirando raiz quadrada obtemos
|e|L^2(Omega)=raizI1+I2+I3=raiz0.0032approx0.0566,^circC

Resposta

O erro da solução de elementos finitos na norma L²(Ω) é aproximadamente 0,0566 °C.

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