O modelo de elementos finitos de um problema de condução de calor em regime permanente unidimensional a partir de uma malha com 3 elementos lineares fornece os seguintes valores nodais de temperatura:
,
e
. Sendo a solução exata dada por
, determine o erro da solução de elementos finitos na norma
.
Passo 1
Relembrando o enunciado: temos um problema unidimensional de condução de calor em regime permanente com 3 elementos lineares e 4 nós, cujos valores nodais de temperatura são U₁=–10, U₂=–8,6, U₃=–6,4 e U₄=–3,4 (em °C). A solução exata é dada por T(x)=10x²+5x–10. Queremos o erro na norma L², isto é,
.
Passo 2
Precisamos das coordenadas nodais. Como T(x_i)=U_i, resolvemos 10x_i²+5x_i–10=U_i e obtemos x₁=0, x₂=0,2, x₃=0,4 e x₄=0,6. Logo o domínio é
e cada elemento tem comprimento h=0,2.
Passo 3
Definimos em cada elemento a interpolação linear U_h(x):
Elemento 1 (0≤x≤0,2):
Elemento 1 (0≤x≤0,2):
Elemento 2 (0,2≤x≤0,4):
Elemento 3 (0,4≤x≤0,6):
Passo 4
Construímos a função de erro em cada elemento: e_i(x)=U_h(x)-T(x). Assim temos
Passo 5
O termo na norma L² em cada elemento é
Expandindo e integrando polinomialmente em cada intervalo [0,0.2], [0.2,0.4] e [0.4,0.6], encontra-se numericamente
Passo 6
Somando as contribuições e tirando raiz quadrada obtemos
Resposta
O erro da solução de elementos finitos na norma L²(Ω) é aproximadamente 0,0566 °C.