Dados os valores de um registro apresentados no quadro a seguir calcule qual a abertura angular para se obter uma vazão de 0,65 \mathrm{l} / \mathrm{s}. Trace o gráfico de abertura angular e vazão. Nota: o \Delta \mathrm{h} (MCA) é a variação da pressão (perda) antes e após do registro
Abertura
\circ
\mathrm{Q}(1 / \mathrm{s}) \Delta \mathrm{h}(\mathrm{MCA})
1350 0,98 0,50
945 0,95 1,80
585 0,90 3,05
225 0,53 6,90
135 0,26 8,50
45 0,02 10,00
\mathrm{Q(L/S)}|\mid \Delta \mathrm{H}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) calcular a abertura angular do registro que resulta em uma vazão de \,0,65\\ \mathrm{L/s}\, e (2) traçar o gráfico de abertura angular versus vazão.
Do quadro eu peguei os pares de dados (estão na tabela fornecida pelo enunciado). Observação sobre as aberturas: os valores da coluna “Abertura” aparecem como 1350,\\\ 945,\\\ 585,\\\ 225,\\\ 135,\\\ 45. Esses números são muito grandes para serem graus diretamente, então vou interpretar que estão em décimos de grau (ou seja, dividir por 10) — isso é uma inferência razoável porque assim os valores viram ângulos plausíveis: 135^\circ,\\\ 94{,}5^\circ,\\\ 58{,}5^\circ,\\\ 22{,}5^\circ,\\\ 13{,}5^\circ,\\\ 4{,}5^\circ. Se estivesse errado, a tabela original deveria esclarecer, mas aqui sigo essa interpretação.
Dados (retirados da tabela e convertidos dividindo a coluna de abertura por 10):
\begin{array}{c|c|c} \text{Abertura (^\circ)} & \mathrm{Q}\\ (\mathrm{L/s}) & \Delta h\\ (\mathrm{MCA})\\hline 135{,}0 & 0{,}98 & 0{,}50\\\\ 94{,}5 & 0{,}95 & 1{,}80\\\\ 58{,}5 & 0{,}90 & 3{,}05\\\\ 22{,}5 & 0{,}53 & 6{,}90\\\\ 13{,}5 & 0{,}26 & 8{,}50\\\\ 4{,}5 & 0{,}02 &10{,}00 \end{array}

Passo 2

Escolha do método para achar a abertura que dá \,0{,}65\\ \mathrm{L/s}: a maneira mais direta e prática numa prova, sem equipamento de ajuste fino, é interpolação linear entre os dois pontos de tabela que “abraçam” a vazão desejada. Alternativas seriam ajustar uma curva (polinomial, exponencial, etc.), mas isso é mais trabalhoso e normalmente desnecessário para obter uma aproximação prática. Então uso interpolação linear entre os dois pontos vizinhos em Q.
Vou procurar os dois pontos da tabela cujas vazões ficam imediatamente acima e abaixo de \,0{,}65\\ \mathrm{L/s}.

Passo 3

Identificação dos pontos de interpolação: observando a coluna de \mathrm{Q}:
0{,}90\\ (\text{em }58{,}5^\circ)\quad\text{e}\quad 0{,}53\\ (\text{em }22{,}5^\circ).
A vazão alvo 0{,}65 está entre 0{,}90 e 0{,}53, então vou interpolar entre os pontos
(\theta_1,Q_1)=(22{,}5^\circ,\\\ 0{,}53),\qquad (\theta_2,Q_2)=(58{,}5^\circ,\\\ 0{,}90).

Passo 4

Fórmula da interpolação linear (explicando a fórmula): se queremos encontrar \theta tal que Q(\theta)=Q^*, e conhecemos dois pontos (\theta_1,Q_1) e (\theta_2,Q_2), a interpolação linear presume que entre esses pontos a relação é aproximadamente linear, e dá:
\theta \;=\; \theta_1 \;+\; (Q^*-Q_1)\,\frac{\theta_2-\theta_1}{Q_2-Q_1}.
Aqui \theta é a abertura buscada (em graus), Q^*=0{,}65 é a vazão alvo, \theta_1,\theta_2 e Q_1,Q_2 são os pontos conhecidos. A razão por trás: movemo-nos uma fração \dfrac{Q^*-Q_1}{Q_2-Q_1} do intervalo angular entre \theta_1 e \theta_2.

Passo 5

Aplicando os números:
\theta_1=22{,}5^\circ,\quad Q_1=0{,}53,\quad \theta_2=58{,}5^\circ,\quad Q_2=0{,}90,\quad Q^*=0{,}65.
Calcule as diferenças:
Q^*-Q_1 = 0{,}65-0{,}53 = 0{,}12,
Q_2-Q_1 = 0{,}90-0{,}53 = 0{,}37,
\theta_2-\theta_1 = 58{,}5^\circ-22{,}5^\circ = 36{,}0^\circ.

Passo 6

Agora a conta principal:
\theta = 22{,}5^\circ + 0{,}12\cdot\frac{36{,}0^\circ}{0{,}37}.
Calcule a fração exatamente como racional:
\frac{0{,}12}{0{,}37} = \frac{12}{37}\approx 0{,}324324\ldots
Multiplicando por 36{,}0^\circ:
36{,}0^\circ\cdot\frac{12}{37}=\frac{432}{37}\approx 11{,}6756757^\circ.
Somando a \theta_1:
\theta \approx 22{,}5^\circ + 11{,}6756757^\circ \approx 34{,}1756757^\circ.
Arredondando de forma prática para a precisão dos dados: \theta \approx 34{,}18^\circ (ou, com uma casa decimal, \,34{,}2^\circ).

Passo 7

Instruções e dados para traçar o gráfico (passo a passo didático para você fazer na prova ou no caderno):
  • Eixos: coloque no eixo horizontal (x) a abertura \theta em graus e no eixo vertical (y) a vazão \mathrm{Q} em \mathrm{L/s}. Rotule: x= Abertura \;(\,^\circ\,), y= Vazão \;(\mathrm{L/s}).
  • Plote os pontos (retirados da tabela convertida):
(4{,}5,\\\ 0{,}02),\\ (13{,}5,\\\ 0{,}26),\\ (22{,}5,\\\ 0{,}53),\\ (58{,}5,\\\ 0{,}90),\\ (94{,}5,\\\ 0{,}95),\\ (135{,}0,\\\ 0{,}98).
  • Conecte os pontos suavemente (a curva normalmente sobe rapidamente em ângulos pequenos e depois tende a se estabilizar, como indicado pelos valores) — se quiser maior precisão, ajuste uma curva suave; para fins de prova, ligar os pontos por segmentos já é suficiente.
  • Marque o ponto interpolado que encontramos: (34{,}18^\circ,\\\ 0{,}65) — isto mostra onde a abertura corresponde à vazão pedida.
  • Escala sugerida: eixo x de 0^\circ a 140^\circ (passos de 10^\circ ou 20^\circ); eixo y de 0{,}0 a 1{,}0\\ \mathrm{L/s} (passos de 0{,}1). Isso permite visualizar bem os pontos e a posição do (34{,}18^\circ,0{,}65).

Resposta

\theta \approx 34{,}18^\circ
Pontos para o gráfico: (4{,}5,\\\ 0{,}02),\\ (13{,}5,\\\ 0{,}26),\\ (22{,}5,\\\ 0{,}53),\\ (34{,}18,\\\ 0{,}65),\\ (58{,}5,\\\ 0{,}90),\\ (94{,}5,\\\ 0{,}95),\\ (135{,}0,\\\ 0{,}98)

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