O pilar de uma ponte possui 2,0 \mathrm{~m} de diametro e a água atinge 5,0 \mathrm{~m} de altura no mesmo. Considerando que a velocidade da água ( \mu=10^{-3} \mathrm{Ns} / \mathrm{m}^{2} ) do rio pode chegar a 10 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Encontre a força de arrasto sobre o pilar da ponte.

Passo 1

O enunciado dá um pilar cilíndrico com diâmetro D=2{,}0\\ \mathrm{m} e a água atinge uma altura h=5{,}0\\ \mathrm{m} nele (logo essa é a altura do fluido que impacta o pilar). A água pode chegar a uma velocidade de 10\\ \mathrm{km/h}. A viscosidade dinâmica fornecida é \mu=10^{-3}\\ \mathrm{Ns/m^{2}}. Há um gráfico de C_{D} versus Re para cilindro liso disponível na figura (vou usar esse gráfico para obter C_{D}). Pergunta: encontrar a força de arrasto sobre o pilar.
Informações importantes listadas:
  • D=2{,}0\\ \mathrm{m}
  • h=5{,}0\\ \mathrm{m} (comprimento imerso do cilindro)
  • velocidade máxima U=10\\ \mathrm{km/h}
  • viscosidade dinâmica \mu=10^{-3}\\ \mathrm{Ns/m^{2}}
  • gráfico de C_{D} disponível (usado para determinar C_{D})
  • assumirei a densidade da água \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} (valor padrão)

Passo 2

Converter a velocidade de \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s}. A conversão é:
1\\ \mathrm{km/h}=\frac{1000}{3600}\\ \mathrm{m/s}=\frac{5}{18}\\ \mathrm{m/s}.
Logo
U=10\\ \mathrm{km/h}=10\cdot\frac{5}{18}\\ \mathrm{m/s}=\;2{,}78\\ \mathrm{m/s}\\ \text{(aprox.)}.

Passo 3

Calcular o número de Reynolds \,Re. Vou explicar a fórmula: o número de Reynolds é adimensional e mede a razão entre efeitos inerciais e viscosos no escoamento; para um cilindro de diâmetro D em um fluido com densidade \rho, velocidade característica U e viscosidade dinâmica \mu,
Re=\frac{\rho U D}{\mu}.
Substituindo \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}, U=2{,}7778\\ \mathrm{m/s} (valor mais preciso) e D=2{,}0\\ \mathrm{m}:
Re=\frac{1000\cdot 2{,}7778\cdot 2{,}0}{10^{-3}}=5{,}56\times10^{6}\\ \text{(aprox.)}.
Esse valor é muito alto, ou seja, fluxo fortemente turbulento ao redor do cilindro.

Passo 4

Determinar o coeficiente de arrasto C_{D}. O C_{D} para um cilindro depende fortemente de Re e da rugosidade da superfície. O enunciado trouxe um gráfico C_{D} versus Re (cilindro liso). Eu uso o gráfico para ler C_{D} no ponto Re\approx5{,}6\times10^{6}. Do gráfico (linha do “cilindro liso”) para esse intervalo de Re o C_{D} está na ordem de grandeza de aproximadamente 0{,}6 (essa é uma leitura aproximada do gráfico fornecido). Vou, portanto, usar
C_{D}\approx0{,}6.
Observação: há alguma incerteza na leitura do gráfico; se alguém usar uma curva ligeiramente diferente, C_{D} pode variar (por exemplo entre \sim0{,}4 e \sim0{,}8), e a força de arrasto varia proporcionalmente a C_{D}.

Passo 5

Apresentar a fórmula da força de arrasto e explicar cada termo. Para um corpo em escoamento uniforme, a força de arrasto na direção do fluxo pode ser estimada por
F_{D}=\tfrac{1}{2}\,\rho\,U^{2}\,C_{D}\,A,
onde:
  • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^{3}});
  • U é a velocidade do fluido ( \mathrm{m/s});
  • C_{D} é o coeficiente de arrasto adimensional (lido no gráfico);
  • A é a área projetada do corpo perpendicular ao fluxo ( \mathrm{m^{2}}).
    No caso de um pilar cilíndrico de comprimento imerso h e diâmetro D, a área projetada para o arrasto é a face retangular equivalente A=D\cdot h.

Passo 6

Calcular a área projetada A:
A=D\cdot h=2{,}0\\ \mathrm{m}\times 5{,}0\\ \mathrm{m}=10{,}0\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 7

Calcular a pressão dinâmica \tfrac{1}{2}\rho U^{2} e depois a força de arrasto passo a passo:
Primeiro a pressão dinâmica:
\tfrac{1}{2}\rho U^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot1000\cdot(2{,}7778)^{2} =\;3{,}858\times10^{3}\\ \mathrm{N/m^{2}}\\ \text{(aprox.)}.
Multiplicando pela área A=10{,}0\\ \mathrm{m^{2}} obtemos sem o C_{D}:
\left(\tfrac{1}{2}\rho U^{2}\right)A=3{,}858\times10^{4}\\ \mathrm{N}.
Finalmente multiplicamos pelo coeficiente de arrasto C_{D}\approx0{,}6:
F_{D}=3{,}858\times10^{4}\cdot 0{,}6 =2{,}31\times10^{4}\\ \mathrm{N}.
Arredondando, F_{D}\approx2{,}3\times10^{4}\\ \mathrm{N} (aprox.).

Passo 8

Comentário sobre incerteza e intervalo provável. Como a leitura de C_{D} no gráfico tem incerteza, se considerarmos uma faixa razoável C_{D}=0{,}4 a 0{,}8 obtemos:
  • para C_{D}=0{,}4: F_{D}\approx1{,}54\times10^{4}\\ \mathrm{N},
  • para C_{D}=0{,}8: F_{D}\approx3{,}09\times10^{4}\\ \mathrm{N}.
    Portanto o resultado obtido 2{,}31\times10^{4}\\ \mathrm{N} está no meio desse intervalo e é uma boa estimativa baseada no gráfico fornecido.

Resposta

2{,}3\times10^{4}\\ \mathrm{N} (aprox., usando C_{D}\approx0{,}6 lido no gráfico).

Exercícios relacionados