Dados \vec{v}=(3,2) e \vec{u}=(7,5), calcule e represente graficamente os vetores:
2 \vec{v}+3 \vec{u}.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em coordenadas cartesianas e pede para calcular e desenhar uma combinação linear deles. Dados:
  • \vec{v}=(3,2)
  • \vec{u}=(7,5)
O que é pedido: calcular o vetor 2\vec{v}+3\vec{u} e mostrar como representá-lo graficamente.

Passo 2

Entender operação por operação: primeiro a multiplicação por escalar. Regra: multiplicar um vetor por um escalar significa multiplicar cada componente do vetor por esse escalar. Se \vec{a}=(a_1,a_2) e k é um número, então
k\vec{a}=(k a_1,\; k a_2).
Aplicando a regra aos vetores dados:
Calcular 2\vec{v}. Como \vec{v}=(3,2),
2\vec{v} = (2\cdot 3,\;2\cdot 2) = (6,4).
Calcular 3\vec{u}. Como \vec{u}=(7,5),
3\vec{u} = (3\cdot 7,\;3\cdot 5) = (21,15).

Passo 3

Agora a soma de vetores. Regra: somar vetores em coordenadas é somar componente a componente. Se \vec{a}=(a_1,a_2) e \vec{b}=(b_1,b_2), então
\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,\;a_2+b_2).
Aplicando aos vetores que obtivemos:
2\vec{v}+3\vec{u} = (6,4) + (21,15).
Somando componente a componente:
(6+21,\;4+15) = (27,19).

Passo 4

Interpretação geométrica e como desenhar (passo a passo, sem calculadora complicada):
  1. O vetor resultante (27,19) corresponde ao ponto (27,19) quando o vetor é desenhado com a cauda na origem (0,0). Ou seja, desenha-se uma seta do ponto (0,0) até (27,19).
  2. Escolha uma escala prática no papel (por exemplo, 1 unidade no plano = 1 cm no papel). Como os valores são relativamente grandes, pode-se escolher 1 unidade = 0,5 cm ou 1 unidade = 0,2 cm para caber no papel; o importante é manter a mesma escala nos eixos x e y.
  3. Desenhe os eixos x e y e marque as graduções segundo a escala escolhida. Marque o ponto (27,19) contando 27 unidades para a direita e 19 unidades para cima a partir da origem.
  4. Ligue a origem (0,0) ao ponto (27,19) com uma seta apontando para (27,19). Essa seta é 2\vec{v}+3\vec{u}.
  5. Se preferir construir o resultado por soma geométrica (método “cauda na cabeça” ou paralelogramo):
    • Desenhe o vetor 2\vec{v}=(6,4) a partir da origem.
    • A partir da cabeça de 2\vec{v} desenhe o vetor 3\vec{u}=(21,15).
    • A seta que vai da origem até a cabeça final é o vetor resultante. Isso deve coincidir com o ponto (27,19) e com a seta direta do passo 4.
    • Alternativamente, desenhe 2\vec{v} e 3\vec{u} ambos a partir da origem e complete o paralelogramo; a diagonal é o resultado.

Passo 5

Um exemplo rápido para fixar a ideia: se \vec{a}=(1,2) e \vec{b}=(2,1), então \vec{a}+\vec{b}=(1+2,\,2+1)=(3,3). Mesmo princípio usado acima, só com números menores.

Resposta

\,2\vec{v}+3\vec{u}=(27,19)

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