Dados \vec{v}=(3,2) e \vec{u}=(7,5), calcule e represente graficamente os vetores:
5 \vec{v};

Passo 1

O enunciado fornece os vetores \vec{v}=(3,2) e \vec{u}=(7,5) e pede para calcular e representar graficamente o vetor 5\vec{v}. Vou listar claramente o que temos e o que é pedido:
  • Dado: \vec{v}=(3,2).
  • Pedido: calcular 5\vec{v} e explicar como representá-lo no plano.

Passo 2

O que significa multiplicar um vetor por um escalar? Regra prática e intuitiva:
  • Se \vec{v}=(v_1,v_2) e k é um número real, então
k\vec{v}=(k v_1,\,k v_2).
Explicação simples: multiplicar por k escala cada componente do vetor. Geometricamente, se k>0 o vetor resultante tem a mesma direção e sentido de \vec{v} e comprimento multiplicado por k. Se k<0 inverte o sentido.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso com k=5 e \vec{v}=(3,2):
5\vec{v}=(5\cdot 3,\,5\cdot 2).
Agora calcule cada produto:
5\cdot 3=15,\qquad 5\cdot 2=10.
Portanto
5\vec{v}=(15,10).

Passo 4

Interpretação geométrica e verificação:
  • O comprimento (norma) de \vec{v} é
\|\vec{v}\|=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}.
  • Como multiplicar por 5 multiplica o comprimento por 5,
\|5\vec{v}\|=5\|\vec{v}\|=5\sqrt{13}.
Como checagem rápida, dividindo o resultado por 5 recupera-se o vetor original:
\frac{1}{5}(15,10)=(3,2)=\vec{v},
o que confirma que o cálculo está correto.

Passo 5

Como desenhar 5\vec{v} no plano (passo a passo prático, para você poder fazer na folha da prova):
  1. Desenhe um sistema de eixos cartesianas x e y e marque uma malha (cada unidade pode ser, por exemplo, \,1\\ \text{cm}).
  2. Marque o ponto extremo do vetor no par ordenado correspondente. Para 5\vec{v}=(15,10), marque o ponto (15,10).
  3. Desenhe uma seta do ponto origem (0,0) até (15,10). A seta representa o vetor 5\vec{v}.
  4. Se o espaço da folha for pequeno, escolha uma escala (por exemplo, 1 unidade no desenho = 2 unidades reais). Nesse caso, para manter a direção correta, divida as coordenadas por 2 ao plotar; a direção permanece a mesma.
  5. Observação importante: vetores podem ser transladados sem alterar seu efeito. Em vez de desenhar a partir da origem, pode-se desenhar uma seta com deslocamento relativo de (15,10) a partir de qualquer ponto.

Passo 6

Dica para a prova: se pedir apenas o cálculo algébrico, faça a multiplicação componente a componente e escreva o resultado em forma de par ordenado. Se pedirem também o desenho, não esqueça de indicar a escala usada para que o examinador entenda o desenho.

Resposta

5\vec{v}=(15,10)

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