Considere o vetor \vec{a} no plano. Prove que, para todo \lambda, \mu \in \mathbb{R},(\lambda+\mu) \vec{a}=\lambda \vec{a}+\mu \vec{a}.

Passo 1

O enunciado dá que há um vetor \vec{a} no plano e pede para provar que, para quaisquer \lambda,\mu\in\mathbb{R},
(\lambda+\mu)\vec{a}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{a}.
Informações relevantes fornecidas:
  • \vec{a} é um vetor no plano.
  • \lambda e \mu são números reais quaisquer.
    O que se pede: demonstrar a igualdade acima para todo \lambda,\mu\in\mathbb{R}.

Passo 2

Vou representar \vec{a} por coordenadas cartesianas. Isso é permitido porque vetores no plano podem ser identificados com pares ordenados de números reais. Escrevo
\vec{a}=(a_1,a_2),
onde a_1 e a_2 são as componentes (números reais) do vetor na base canônica. Agora lembro as definições que vou usar:
  • Multiplicação escalar por um número real c é definida por
c\,(x,y)=(c x, c y).
  • Soma de vetores é definida componente a componente:
(x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1+y_1,\;x_2+y_2).
  • Dois vetores são iguais quando têm as mesmas componentes: (u_1,u_2)=(v_1,v_2) se, e somente se, u_1=v_1 e u_2=v_2.

Passo 3

Começo calculando o lado esquerdo (\lambda+\mu)\vec{a} usando a definição de multiplicação escalar:
(\lambda+\mu)\vec{a}=(\lambda+\mu)\,(a_1,a_2)=\big((\lambda+\mu)a_1,\;(\lambda+\mu)a_2\big).

Passo 4

Aplico a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição no corpo dos números reais. Essa propriedade diz que, para quaisquer reais x,y,z,
(x+y)z=xz+yz.
Usando isso para cada componente obtemos
(\lambda+\mu)a_1=\lambda a_1+\mu a_1 \qquad\text{e}\qquad (\lambda+\mu)a_2=\lambda a_2+\mu a_2.

Passo 5

Substituo essas igualdades na expressão do Passo 3:
(\lambda+\mu)\vec{a}=\big(\lambda a_1+\mu a_1,\;\lambda a_2+\mu a_2\big).

Passo 6

Reagrupar componentes para ver a soma de dois vetores:
\big(\lambda a_1+\mu a_1,\;\lambda a_2+\mu a_2\big) =\big(\lambda a_1,\lambda a_2\big)+\big(\mu a_1,\mu a_2\big).
Pelas definições de multiplicação por escalar e soma de vetores, isso é exatamente
\big(\lambda a_1,\lambda a_2\big)+\big(\mu a_1,\mu a_2\big)=\lambda\vec{a}+\mu\vec{a}.

Passo 7

Portanto juntando os passos anteriores obtemos a igualdade desejada:
(\lambda+\mu)\vec{a}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{a}.
(Como pequeno cheque numérico: se \vec{a}=(2,3), \lambda=4, \mu=5, então (\lambda+\mu)\vec{a}=(9)(2,3)=(18,27) e \lambda\vec{a}+\mu\vec{a}=(8,12)+(10,15)=(18,27), conferindo a igualdade.)

Resposta

(\lambda+\mu)\vec{a}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{a}

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