Considere o vetor
no plano. Prove que, para todo
.
Passo 1
O enunciado dá que há um vetor
no plano e pede para provar que, para quaisquer
,
Informações relevantes fornecidas:
-
é um vetor no plano. -
e são números reais quaisquer.
O que se pede: demonstrar a igualdade acima para todo.
Passo 2
Vou representar
por coordenadas cartesianas. Isso é permitido porque vetores no plano podem ser identificados com pares ordenados de números reais. Escrevo
onde
e
são as componentes (números reais) do vetor na base canônica. Agora lembro as definições que vou usar:
- Multiplicação escalar por um número real
é definida por
- Soma de vetores é definida componente a componente:
- Dois vetores são iguais quando têm as mesmas componentes:
se, e somente se, e .
Passo 3
Começo calculando o lado esquerdo
usando a definição de multiplicação escalar:
Passo 4
Aplico a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição no corpo dos números reais. Essa propriedade diz que, para quaisquer reais
,
Usando isso para cada componente obtemos
Passo 5
Substituo essas igualdades na expressão do Passo 3:
Passo 6
Reagrupar componentes para ver a soma de dois vetores:
Pelas definições de multiplicação por escalar e soma de vetores, isso é exatamente
Passo 7
Portanto juntando os passos anteriores obtemos a igualdade desejada:
(Como pequeno cheque numérico: se
,
,
, então
e
, conferindo a igualdade.)