Dados \vec{v}=(3,2) e \vec{u}=(7,5), calcule e represente graficamente os vetores:
-2 \vec{u};

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que ele pede:
  • Vetores fornecidos: \vec{v}=(3,2) e \vec{u}=(7,5).
  • O que pedir: calcular e representar graficamente o vetor -2\vec{u}.
    Resumo: preciso obter as componentes de -2\vec{u} e explicar como desenhar esse vetor no plano cartesiano.

Passo 2

Entendendo multiplicação de vetor por escalar (lição rápida e prática).
  • Se a é um número real (escalar) e \vec{w}=(w_x,w_y) é um vetor no plano, então a multiplicação escalar é
a\vec{w}=(a w_x,\, a w_y).
  • Intuição: cada componente do vetor é escalada pelo número a. Se a>0 o vetor mantém direção; se a<0 ele inverte a direção; |a| altera o comprimento (por exemplo |a|=2 duplica o tamanho).
  • Exemplo simples: 3(1,2)=(3,6) e -1(1,2)=(-1,-2) (inverte a direção).

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso.
  • Aqui a=-2 e \vec{u}=(7,5). Pelo fórmula:
-2\vec{u}=(-2\cdot 7,\,-2\cdot 5).
  • Calculando cada componente:
-2\cdot 7=-14,\qquad -2\cdot 5=-10.

Passo 4

Escrevendo o resultado final do cálculo.
-2\vec{u}=(-14,-10).

Passo 5

Propriedades úteis para a hora da prova (intução que ajuda a desenhar rápido).
  • Direção: como o escalar é negativo, -2\vec{u} aponta na direção oposta a \vec{u}.
  • Comprimento: |-2|=2, então -2\vec{u} tem o dobro do comprimento de \vec{u}.
  • Relação com \vec{u}: se \vec{u}=(7,5), um passo prático para desenhar é primeiro localizar \vec{u} em (7,5) e então marcar o ponto oposto dobrando as componentes: (-14,-10).

Passo 6

Como representar graficamente (passo-a-passo prático que dá para fazer na prova sem calculadora):
  1. Desenhe eixos coordenados x e y com a origem O=(0,0).
  2. Escolha uma escala que caiba na sua folha (ex.: 1 unidade = 0,5 cm se o vetor for grande). Se preferir usar 1 unidade = 1 cm, apenas saiba que vai precisar de 14 cm para a coordenada x negativa e 10 cm para y negativa.
  3. Marque o ponto A=(-14,-10) no plano: vá 14 unidades para a esquerda do eixo y e 10 unidades para baixo do eixo x.
  4. Desenhe uma seta do ponto O=(0,0) até A=(-14,-10). Essa seta é a representação de -2\vec{u}.
  5. (Dica visual) Se você também desenhar \vec{u} indo de O a (7,5), vai perceber que -2\vec{u} é exatamente o dobro do comprimento e na direção oposta — isso ajuda a conferir se o desenho está correto.

Passo 7

Cálculo do comprimento (opcional, útil para entendimento):
\| -2\vec{u}\|=\sqrt{(-14)^2+(-10)^2}=\sqrt{196+100}=\sqrt{296}=2\sqrt{74}\approx 17,204.
Isso confirma que o vetor é relativamente longo (aproximadamente 17,204 unidades).

Resposta

-2\vec{u}=(-14,-10)

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