Dados \vec{v}=(2 ; 1), \vec{w}=(3 ; 0), determine \vec{t}, tal que 3 \vec{t}+2 \vec{v}=\frac{1}{3}(\vec{v}-\vec{w})

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{v}=(2;1) e \vec{w}=(3;0) e pede para determinar o vetor \vec{t} que satisfaz a igualdade
3\vec{t}+2\vec{v}=\tfrac{1}{3}(\vec{v}-\vec{w}).
Informações relevantes dadas:
  • \vec{v}=(2;1).
  • \vec{w}=(3;0).
  • Quer-se encontrar \vec{t}\in\mathbb{R}^2 que satisfaça a equação vetorial acima.

Passo 2

Lembrete rápido (conceitos que vamos usar):
  • A multiplicação de um vetor por um escalar é feita componente a componente: se \vec{a}=(a_1;a_2) e \lambda é escalar, então \lambda\vec{a}=(\lambda a_1;\lambda a_2).
  • A soma e subtração de vetores também é feita componente a componente: (a_1;a_2)\pm(b_1;b_2)=(a_1\pm b_1; a_2\pm b_2).
    Portanto podemos resolver a equação vetorial transformando-a numa equação componente a componente.

Passo 3

Calcular \vec{v}-\vec{w} e em seguida \tfrac{1}{3}(\vec{v}-\vec{w}).
\vec{v}-\vec{w}=(2-3;\;1-0)=(-1;\;1).
\tfrac{1}{3}(\vec{v}-\vec{w})=\tfrac{1}{3}(-1;\;1)=\bigl(-\tfrac{1}{3};\;\tfrac{1}{3}\bigr).

Passo 4

Reescrever a equação isolando 3\vec{t}:
3\vec{t}=\tfrac{1}{3}(\vec{v}-\vec{w})-2\vec{v}.
Calcular 2\vec{v}:
2\vec{v}=2(2;1)=(4;2).
Subtrair vetores na direita:
3\vec{t}=\bigl(-\tfrac{1}{3};\;\tfrac{1}{3}\bigr)-(4;2)=\bigl(-\tfrac{1}{3}-4;\;\tfrac{1}{3}-2\bigr).
Fazendo as contas com denominadores iguais:
-\tfrac{1}{3}-4=-\tfrac{1}{3}-\tfrac{12}{3}=-\tfrac{13}{3}, \qquad \tfrac{1}{3}-2=\tfrac{1}{3}-\tfrac{6}{3}=-\tfrac{5}{3}.
Logo
3\vec{t}=\bigl(-\tfrac{13}{3};\;-\tfrac{5}{3}\bigr).

Passo 5

Dividir ambos os lados por 3 para obter \vec{t}. Como dividir por escalar significa multiplicar pelo recíproco:
\vec{t}=\tfrac{1}{3}\,3\vec{t}=\tfrac{1}{3}\bigl(-\tfrac{13}{3};\;-\tfrac{5}{3}\bigr)=\bigl(-\tfrac{13}{9};\;-\tfrac{5}{9}\bigr).

Passo 6

Cheque rápido (substituir para conferir):
Calcular 3\vec{t}+2\vec{v} com \vec{t}=(-\tfrac{13}{9};-\tfrac{5}{9}).
3\vec{t}=3\bigl(-\tfrac{13}{9};-\tfrac{5}{9}\bigr)=\bigl(-\tfrac{13}{3};-\tfrac{5}{3}\bigr).
3\vec{t}+2\vec{v}=\bigl(-\tfrac{13}{3};-\tfrac{5}{3}\bigr)+(4;2)=\bigl(-\tfrac{13}{3}+\tfrac{12}{3};\;-\tfrac{5}{3}+\tfrac{6}{3}\bigr)=\bigl(-\tfrac{1}{3};\;\tfrac{1}{3}\bigr),
que coincide com \tfrac{1}{3}(\vec{v}-\vec{w}) calculado no Passo 3. Portanto a solução está correta.

Resposta

\vec{t}=\bigl(-\tfrac{13}{9};\;-\tfrac{5}{9}\bigr)

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