5{ }^{\text {a }} Questão: (10 pontos)

Determine os valores de a para que o vetor \vec{u}=\left(a,-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right) seja unitário

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor \vec{u}=\left(a,-\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right) e pede: determine os valores de a para que \vec{u} seja unitário (ou seja, tenha módulo igual a 1).
Informações relevantes fornecidas:
  • A componente x do vetor é a (desconhecida).
  • A componente y do vetor é -\dfrac{1}{2}.
  • A componente z do vetor é \dfrac{1}{4}.
  • Quer-se os valores de a tais que o comprimento (norma) do vetor seja 1.

Passo 2

Conceito importante (mini-aula rápida): em \mathbb{R}^3, a norma (módulo) de um vetor \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) é dada por
\|\vec{v}\|=\sqrt{v_1^{2}+v_2^{2}+v_3^{2}}.
Explicando: cada componente é elevada ao quadrado, somam-se esses quadrados e toma-se a raiz quadrada da soma. Essa é a distância do vetor à origem no espaço euclidiano.
Para que \vec{u} seja unitário precisamos que
\|\vec{u}\|=1.

Passo 3

Aplicando a fórmula da norma ao vetor \vec{u}:
\|\vec{u}\|=\sqrt{a^{2}+\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{1}{4}\right)^{2}}.
Impondo \|\vec{u}\|=1 e eliminando a raiz (eles são não negativos, então podemos elevar ambos os lados ao quadrado sem perder soluções):
a^{2}+\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{1}{4}\right)^{2}=1^{2}=1.

Passo 4

Calcule os quadrados das componentes conhecidas:
\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4},\qquad \left(\dfrac{1}{4}\right)^{2}=\dfrac{1}{16}.
Some-os:
\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{16}=\dfrac{4}{16}+\dfrac{1}{16}=\dfrac{5}{16}.
Substituindo na equação da norma:
a^{2}+\dfrac{5}{16}=1.

Passo 5

Isolando a^{2}:
a^{2}=1-\dfrac{5}{16}=\dfrac{16}{16}-\dfrac{5}{16}=\dfrac{11}{16}.
Tomando raiz quadrada em ambos os lados (lembrando que a pode ser positivo ou negativo):
a=\pm\sqrt{\dfrac{11}{16}}=\pm\dfrac{\sqrt{11}}{4}.
Verificação rápida: se a^{2}=\dfrac{11}{16}, então a^{2}+\dfrac{5}{16}=\dfrac{11}{16}+\dfrac{5}{16}=\dfrac{16}{16}=1, portanto a norma fica 1, conforme exigido.

Resposta

a=\dfrac{\sqrt{11}}{4}
a=-\dfrac{\sqrt{11}}{4}

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