Questão: (10 pontos)
Determine os valores de
para que o vetor
seja unitário
Passo 1
O enunciado nos dá o vetor
e pede: determine os valores de
para que
seja unitário (ou seja, tenha módulo igual a
).
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A componente
do vetor é (desconhecida). - A componente
do vetor é . - A componente
do vetor é . - Quer-se os valores de
tais que o comprimento (norma) do vetor seja .
Passo 2
Conceito importante (mini-aula rápida): em
, a norma (módulo) de um vetor
é dada por
Explicando: cada componente é elevada ao quadrado, somam-se esses quadrados e toma-se a raiz quadrada da soma. Essa é a distância do vetor à origem no espaço euclidiano.
Para que
seja unitário precisamos que
Passo 3
Aplicando a fórmula da norma ao vetor
:
Impondo
e eliminando a raiz (eles são não negativos, então podemos elevar ambos os lados ao quadrado sem perder soluções):
Passo 4
Calcule os quadrados das componentes conhecidas:
Some-os:
Substituindo na equação da norma:
Passo 5
Isolando
:
Tomando raiz quadrada em ambos os lados (lembrando que
pode ser positivo ou negativo):
Verificação rápida: se
, então
, portanto a norma fica
, conforme exigido.