Dados \vec{u}_{1}=(2,1,-1), \vec{u}_{2}=(3,0,3), \quad \vec{u}_{3}=(-1,1,-2), \vec{u}_{4}=(1,0,1), verifique se L.I ou L.D \vec{u}_{1}, \vec{u}_{2} e \vec{u}_{3}
Passo 1
O enunciado dá quatro vetores em \mathbb{R}^3, mas pede para verificar se os três vetores \vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3 são linearmente independentes ou dependentes. Os dados são:
O que precisamos responder: os vetores \vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3 são L.I. (linearmente independentes) ou L.D. (linearmente dependentes)?
Passo 2
Definição útil (explicada com calma): vetores \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3 são linearmente independentes se a única solução do sistema
c_1\vec{v}_1+c_2\vec{v}_2+c_3\vec{v}_3=\vec{0}
é c_1=c_2=c_3=0. Se existe alguma solução com algum coeficiente diferente de zero, os vetores são linearmente dependentes. A estratégia básica na prova é montar esse sistema e resolvê-lo por eliminação (Gauss). É um método direto e elementar que dá a resposta sem ambiguidade.
Passo 3
Vamos então escrever explicitamente o sistema a ser resolvido para \vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3:
c_1(2,1,-1)+c_2(3,0,3)+c_3(-1,1,-2)=(0,0,0).
Isto dá o sistema linear (compondo por coordenadas):
Vamos montar a matriz dos coeficientes (colocando os vetores como colunas ou montando pelas equações acima como linhas). Escrevendo a matriz aumentada (com a coluna de zeros) mas como a direita é zero, trabalhamos só com a matriz coeficiente:
Vamos aplicar eliminação de Gauss para resolver A\mathbf{c}=\mathbf{0}, onde \mathbf{c}=(c_1,c_2,c_3)^T.]
Passo 5
Primeiro passo prático: é mais conveniente ter um pivô 1 no topo. Troco a primeira com a segunda linha (operação permitida que preserva o espaço das soluções):
Interpretação (passo didático): chegamos à matriz identidade, o que mostra que o único vetor \mathbf{c}=(c_1,c_2,c_3) que satisfaz c_1\vec{u}_1+c_2\vec{u}_2+c_3\vec{u}_3=\vec{0} é \mathbf{c}=(0,0,0). Pela definição de independência linear, isso significa que não existe combinação linear não-trivial que anule os vetores — eles são linearmente independentes.
Dica prática para prova: para três vetores em \mathbb{R}^3 dá para usar também o determinante (colocar os vetores como colunas e calcular \det); se o determinante for diferente de zero, são L.I. Aqui a eliminação mostrou diretamente o mesmo resultado.