Dados \vec{u}_{1}=(3,1,-1), \vec{u}_{2}=(1,-1,2) e \vec{u}_{3}=(4,0,1), determine se (-10,-2,1) \in\left[\vec{u}_{i}, \vec{u}_{j}\right] e\left[\vec{u}_{i}, \vec{u}_{j}, \vec{u}_{k}\right] para as combinações de i, j \in\{1,2,3\}

Passo 1

O enunciado dá três vetores
\vec{u}_{1}=(3,1,-1), \vec{u}_{2}=(1,-1,2), \vec{u}_{3}=(4,0,1) e pede para cada combinação de índices i,j\in\{1,2,3\} determinar se o vetor \,(-10,-2,1)\, pertence a \left[\vec{u}_{i},\vec{u}_{j}\right] e se pertence a \left[\vec{u}_{i},\vec{u}_{j},\vec{u}_{k}\right].
Informações relevantes do enunciado:
  • Vetores dados: \vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3 (listados acima).
  • Vetor a testar: \vec{v}=(-10,-2,1).
  • A notação \left[\cdot\right] indica o conjunto gerado linearmente pelos vetores (isto é, o span): \left[\vec{u}_i,\vec{u}_j\right]=\mathrm{span}\{\vec{u}_i,\vec{u}_j\} e \left[\vec{u}_i,\vec{u}_j,\vec{u}_k\right]=\mathrm{span}\{\vec{u}_i,\vec{u}_j,\vec{u}_k\}.
  • Perguntas a responder, de forma explícita:
    1. Para cada par (i,j)\in\{(1,2),(1,3),(2,3)\}, verificar se existe escalares (dois) tais que \vec{v} é combinação linear de \vec{u}_i e \vec{u}_j.
    2. Para cada tripla (i,j,k) verificar se \vec{v} é combinação linear das três (ou, em prática, se pertence ao span das três).

Passo 2

O que significa verificar se \vec{v}\in\mathrm{span}\{\vec{u}_i,\vec{u}_j\}?
  • Significa procurar escalares \alpha,\beta tais que
\alpha\,\vec{u}_i+\beta\,\vec{u}_j=\vec{v}.
Isso gera um sistema linear com três equações (uma por coordenada) e duas incógnitas ( \alpha,\beta). Se o sistema for consistente (existe solução), então \vec{v} pertence ao span dos dois vetores; caso contrário, não pertence.
Método prático: escrever as três equações e usar eliminação/substituição para ver se há solução e, se houver, encontrá-la. Verificamos também a terceira equação para checar consistência final.
Vou aplicar esse procedimento para cada par. Depois falo do caso das três vetores.

Passo 3

Teste para [\left[\vec{u}_1,\vec{u}_2\right]).
Procuramos \alpha,\beta tais que
\alpha(3,1,-1)+\beta(1,-1,2)=(-10,-2,1).
Em coordenadas isso dá o sistema
\begin{cases} 3\alpha+\beta=-10,\\[4pt] \alpha-\beta=-2,\\[4pt] -\,\alpha+2\beta=1. \end{cases}
Da segunda equação temos \alpha-\beta=-2\], portanto \[\alpha=\beta-2.\] Substituindo na primeira equação: \[3(\beta-2)+\beta=-10 \quad\Rightarrow\quad 3\beta-6+\beta=-10 \quad\Rightarrow\quad 4\beta=-4 \quad\Rightarrow\quad \beta=-1.\] Então \(\alpha=\beta-2=-1-2=-3.
Verificação na terceira equação:
-\,\alpha+2\beta = -(-3)+2(-1)=3-2=1,
que coincide com a terceira coordenada de \vec{v}. Portanto o sistema é consistente. Conclusão: existe solução \alpha=-3,\\ \beta=-1, logo
\vec{v}=-3\,\vec{u}_1-1\,\vec{u}_2,
e portanto \vec{v}\in\left[\vec{u}_1,\vec{u}_2\right].]

Passo 4

Teste para [\left[\vec{u}_1,\vec{u}_3\right]).
Procuramos s,t tais que
s(3,1,-1)+t(4,0,1)=(-10,-2,1).
Em coordenadas:
\begin{cases} 3s+4t=-10,\\[4pt] s+0\cdot t=-2,\\[4pt] -\,s+t=1. \end{cases}
Da segunda equação vem direto s=-2\]. Substituindo na primeira: \[3(-2)+4t=-10 \quad\Rightarrow\quad -6+4t=-10 \quad\Rightarrow\quad 4t=-4 \quad\Rightarrow\quad t=-1.\] Verificação na terceira equação: \[-\,s+t = -(-2)+(-1)=2-1=1,\] coincide com a terceira coordenada de \(\vec{v}. Logo existe solução s=-2,\\ t=-1 e
\vec{v}=(-2)\,\vec{u}_1+(-1)\,\vec{u}_3,
portanto \vec{v}\in\left[\vec{u}_1,\vec{u}_3\right].]

Passo 5

Teste para [\left[\vec{u}_2,\vec{u}_3\right]).
Procuramos p,q tais que
p(1,-1,2)+q(4,0,1)=(-10,-2,1).
Sistema:
\begin{cases} p+4q=-10,\\[4pt] -\,p+0\cdot q=-2,\\[4pt] 2p+q=1. \end{cases}
Da segunda equação obtemos -p=-2\] então \(p=2. Substituindo na primeira:
2+4q=-10 \quad\Rightarrow\quad 4q=-12 \quad\Rightarrow\quad q=-3.
Verificação na terceira equação:
2p+q = 2\cdot 2 +(-3)=4-3=1,
coincide com a terceira coordenada de \vec{v}. Portanto existe solução p=2,\\ q=-3 e
\vec{v}=2\,\vec{u}_2-3\,\vec{u}_3,
logo \vec{v}\in\left[\vec{u}_2,\vec{u}_3\right].]

Passo 6

Comentário que ajuda a entender o cenário geral (didático e útil para a prova).
Observação rápida e útil: \vec{u}_3=\vec{u}_1+\vec{u}_2, pois
\vec{u}_1+\vec{u}_2=(3+1,\;1-1,\;-1+2)=(4,0,1)=\vec{u}_3.
Isso mostra que \vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3 são linearmente dependentes e que o span de qualquer par é o mesmo plano: \mathrm{span}\{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}=\mathrm{span}\{\vec{u}_1,\vec{u}_3\}=\mathrm{span}\{\vec{u}_2,\vec{u}_3\}. Como já encontramos que \vec{v} é combinação linear de cada par, segue imediatamente que \vec{v}\in\mathrm{span}\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3\} também. Exemplos de combinações encontradas:
\vec{v}=-3\vec{u}_1-1\vec{u}_2= -2\vec{u}_1-1\vec{u}_3=2\vec{u}_2-3\vec{u}_3.

Resposta

\,(-10,-2,1)\in\left[\vec{u}_1,\vec{u}_2\right] : Sim\n
\,(-10,-2,1)\in\left[\vec{u}_1,\vec{u}_3\right] : Sim\n
\,(-10,-2,1)\in\left[\vec{u}_2,\vec{u}_3\right] : Sim\n
\,(-10,-2,1)\in\left[\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3\right] : Sim

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