Dados \vec{u}_{1}=(3,1,-1), \vec{u}_{2}=(1,-1,2) e \vec{u}_{3}=(4,0,1), determine se (-10,-2,1) \in\left[\vec{u}_{i}, \vec{u}_{j}\right] e\left[\vec{u}_{i}, \vec{u}_{j}, \vec{u}_{k}\right] para as combinações de i, j \in\{1,2,3\}
Passo 1
O enunciado dá três vetores \vec{u}_{1}=(3,1,-1), \vec{u}_{2}=(1,-1,2), \vec{u}_{3}=(4,0,1) e pede para cada combinação de índices i,j\in\{1,2,3\} determinar se o vetor \,(-10,-2,1)\, pertence a \left[\vec{u}_{i},\vec{u}_{j}\right] e se pertence a \left[\vec{u}_{i},\vec{u}_{j},\vec{u}_{k}\right].
A notação \left[\cdot\right] indica o conjunto gerado linearmente pelos vetores (isto é, o span): \left[\vec{u}_i,\vec{u}_j\right]=\mathrm{span}\{\vec{u}_i,\vec{u}_j\} e \left[\vec{u}_i,\vec{u}_j,\vec{u}_k\right]=\mathrm{span}\{\vec{u}_i,\vec{u}_j,\vec{u}_k\}.
Perguntas a responder, de forma explícita:
Para cada par (i,j)\in\{(1,2),(1,3),(2,3)\}, verificar se existe escalares (dois) tais que \vec{v} é combinação linear de \vec{u}_i e \vec{u}_j.
Para cada tripla (i,j,k) verificar se \vec{v} é combinação linear das três (ou, em prática, se pertence ao span das três).
Passo 2
O que significa verificar se \vec{v}\in\mathrm{span}\{\vec{u}_i,\vec{u}_j\}?
Significa procurar escalares \alpha,\beta tais que
\alpha\,\vec{u}_i+\beta\,\vec{u}_j=\vec{v}.
Isso gera um sistema linear com três equações (uma por coordenada) e duas incógnitas (\alpha,\beta). Se o sistema for consistente (existe solução), então \vec{v} pertence ao span dos dois vetores; caso contrário, não pertence.
Método prático: escrever as três equações e usar eliminação/substituição para ver se há solução e, se houver, encontrá-la. Verificamos também a terceira equação para checar consistência final.
Vou aplicar esse procedimento para cada par. Depois falo do caso das três vetores.
Da segunda equação temos \alpha-\beta=-2\], portanto
\[\alpha=\beta-2.\]
Substituindo na primeira equação:
\[3(\beta-2)+\beta=-10 \quad\Rightarrow\quad 3\beta-6+\beta=-10 \quad\Rightarrow\quad 4\beta=-4 \quad\Rightarrow\quad \beta=-1.\]
Então \(\alpha=\beta-2=-1-2=-3.
Verificação na terceira equação:
-\,\alpha+2\beta = -(-3)+2(-1)=3-2=1,
que coincide com a terceira coordenada de \vec{v}. Portanto o sistema é consistente. Conclusão: existe solução \alpha=-3,\\ \beta=-1, logo
\vec{v}=-3\,\vec{u}_1-1\,\vec{u}_2,
e portanto \vec{v}\in\left[\vec{u}_1,\vec{u}_2\right].]
Da segunda equação vem direto s=-2\]. Substituindo na primeira:
\[3(-2)+4t=-10 \quad\Rightarrow\quad -6+4t=-10 \quad\Rightarrow\quad 4t=-4 \quad\Rightarrow\quad t=-1.\]
Verificação na terceira equação:
\[-\,s+t = -(-2)+(-1)=2-1=1,\]
coincide com a terceira coordenada de \(\vec{v}. Logo existe solução s=-2,\\ t=-1 e
Isso mostra que \vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3 são linearmente dependentes e que o span de qualquer par é o mesmo plano: \mathrm{span}\{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}=\mathrm{span}\{\vec{u}_1,\vec{u}_3\}=\mathrm{span}\{\vec{u}_2,\vec{u}_3\}. Como já encontramos que \vec{v} é combinação linear de cada par, segue imediatamente que \vec{v}\in\mathrm{span}\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3\} também. Exemplos de combinações encontradas: