Estude os seguintes sistemas lineares via escalonamento (completo), quando indicado iniciar pela operação dada
\left\{\begin{array}{c}x+y-2 z+w=-7 \\\\ 2 x-y+z-w=8 \\\ x+2 y-z+3 w=-12 \\\\ 4 x+y+3 z+w=6\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de quatro equações lineares com quatro incógnitas e pede que o sistema seja resolvido via escalonamento (eliminação por operações elementares). As equações fornecidas são (copiadas do enunciado):
\begin{cases} x+y-2z+w=-7,\\[4pt] 2x-y+z-w=8,\\[4pt] x+2y-z+3w=-12,\\[4pt] 4x+y+3z+w=6. \end{cases}
Informações relevantes que temos:
  • São quatro incógnitas: x,\\ y,\\ z,\\ w.
  • Devemos aplicar escalonamento completo: montar matriz aumentada e usar operações elementares sobre linhas até resolver.
    O próximo passo é montar a matriz aumentada e começar a eliminação.]

Passo 2

Montar a matriz aumentada do sistema (coeficientes e coluna dos termos independentes). Colocando as linhas na mesma ordem das equações:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 1 & -2 & 1 & -7\\[4pt] 2 & -1 & 1 & -1 & 8\\[4pt] 1 & 2 & -1 & 3 & -12\\[4pt] 4 & 1 & 3 & 1 & 6 \end{array}\right]
Explicação curta: a matriz aumentada tem cada linha correspondendo a uma equação; as colunas (antes da barra) são os coeficientes de x,y,z,w e a coluna após a barra é o termo independente. Nas próximas etapas faremos operações de linhas (troca de linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, adicionar múltiplos de uma linha a outra) — essas operações não mudam o conjunto de soluções.]

Passo 3

Usar R_1 (linha 1) como primeiro pivô para zerar a coluna de x nas outras linhas.
Operações:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
  • R_4 \leftarrow R_4 - 4R_1.
Calculemos linha a linha.
Para R_2:
R_2 - 2R_1 = [\,2-2\cdot1,\\\ -1-2\cdot1,\\\ 1-2\cdot(-2),\\\ -1-2\cdot1\;|\;8-2\cdot(-7)\,]
= [\,0,\\\ -3,\\\ 5,\\\ -3\;|\;22\,].
Para R_3:
R_3 - R_1 = [\,1-1,\\\ 2-1,\\\ -1-(-2),\\\ 3-1\;|\;-12-(-7)\,]
= [\,0,\\\ 1,\\\ 1,\\\ 2\;|\;-5\,].
Para R_4:
R_4 - 4R_1 = [\,4-4,\\\ 1-4\cdot1,\\\ 3-4\cdot(-2),\\\ 1-4\cdot1\;|\;6-4\cdot(-7)\,]
= [\,0,\\\ -3,\\\ 11,\\\ -3\;|\;34\,].
Matriz resultante:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 1 & -2 & 1 & -7\\[4pt] 0 & -3 & 5 & -3 & 22\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 2 & -5\\[4pt] 0 & -3 & 11 & -3 & 34 \end{array}\right]]

Passo 4

Agora precisamos de um pivô na coluna de y. Observamos que R_3 tem entrada 1 nessa coluna, que é conveniente (já é um 1). Vamos trocar R_2 com R_3 para ter o pivô na segunda linha.
Operação:
  • Trocar R_2 \leftrightarrow R_3.
Matriz após a troca:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 1 & -2 & 1 & -7\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 2 & -5\\[4pt] 0 & -3 & 5 & -3 & 22\\[4pt] 0 & -3 & 11 & -3 & 34 \end{array}\right]
Explicação: escolher um pivô igual a 1 simplifica as contas; trocar linhas é uma operação permitida que não altera as soluções.]

Passo 5

Usar o pivô 1 em R_2 (coluna y) para zerar os outros elementos nessa coluna (nas linhas 1, 3 e 4).
Operações:
  • R_1 \leftarrow R_1 - R_2.
  • R_3 \leftarrow R_3 + 3R_2.
  • R_4 \leftarrow R_4 + 3R_2.
Calculemos cada nova linha.
Para R_1:
R_1 - R_2 = [\,1-0,\\\ 1-1,\\\ -2-1,\\\ 1-2\;|\;-7-(-5)\,] = [\,1,\\\ 0,\\\ -3,\\\ -1\;|\;-2\,].
Para R_3:
R_3 + 3R_2 = [\,0+0,\\\ -3+3\cdot1,\\\ 5+3\cdot1,\\\ -3+3\cdot2\;|\;22+3\cdot(-5)\,] = [\,0,\\\ 0,\\\ 8,\\\ 3\;|\;7\,].
Para R_4:
R_4 + 3R_2 = [\,0+0,\\\ -3+3\cdot1,\\\ 11+3\cdot1,\\\ -3+3\cdot2\;|\;34+3\cdot(-5)\,] = [\,0,\\\ 0,\\\ 14,\\\ 3\;|\;19\,].
Matriz resultante:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & -3 & -1 & -2\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 2 & -5\\[4pt] 0 & 0 & 8 & 3 & 7\\[4pt] 0 & 0 & 14 & 3 & 19 \end{array}\right]
Breve comentário didático: chegamos a um sistema triangular parcial. As entradas não nulas agora estão concentradas para a direita e podemos prosseguir com o pivô na coluna de z (terceira coluna).]

Passo 6

Escolher o pivô na terceira coluna. A linha 3 tem 8 na coluna z. Podemos transformar essa entrada em 1 dividindo a linha por 8, o que facilita a eliminação.
Operação:
  • R_3 \leftarrow \dfrac{1}{8}R_3.
Cálculo:
R_3 = \left[\,0,\\\ 0,\\\ 1,\\ \tfrac{3}{8}\;|\;\tfrac{7}{8}\,\right].
Agora usar esse pivô para zerar as entradas de z nas outras linhas (linhas 1, 2 e 4).
Operações:
  • R_1 \leftarrow R_1 + 3R_3 (porque R_1 tem -3 em z).
  • R_2 \leftarrow R_2 - R_3 (porque R_2 tem 1 em z).
  • R_4 \leftarrow R_4 - 14R_3 (porque R_4 tem 14 em z).
Façamos as contas com cuidado (mostrar as somas com frações):
Para R_1 + 3R_3:
  • coluna w: -1 + 3\cdot \tfrac{3}{8} = -1 + \tfrac{9}{8} = -\tfrac{8}{8} + \tfrac{9}{8} = \tfrac{1}{8}.
  • termo independente: -2 + 3\cdot \tfrac{7}{8} = -2 + \tfrac{21}{8} = -\tfrac{16}{8} + \tfrac{21}{8} = \tfrac{5}{8}.
    Assim R_1 vira [\,1,\\\ 0,\\\ 0,\\ \tfrac{1}{8}\;|\;\tfrac{5}{8}\,].
Para R_2 - R_3:
  • coluna w: 2 - \tfrac{3}{8} = \tfrac{16}{8} - \tfrac{3}{8} = \tfrac{13}{8}.
  • termo independente: -5 - \tfrac{7}{8} = -\tfrac{40}{8} - \tfrac{7}{8} = -\tfrac{47}{8}.
    Assim R_2 vira [\,0,\\\ 1,\\\ 0,\\ \tfrac{13}{8}\;|\;-\tfrac{47}{8}\,].
Para R_4 - 14R_3:
  • coluna w: 3 - 14\cdot \tfrac{3}{8} = 3 - \tfrac{42}{8} = \tfrac{24}{8} - \tfrac{42}{8} = -\tfrac{18}{8} = -\tfrac{9}{4}.
  • termo independente: 19 - 14\cdot \tfrac{7}{8} = 19 - \tfrac{98}{8} = \tfrac{152}{8} - \tfrac{98}{8} = \tfrac{54}{8} = \tfrac{27}{4}.
    Assim R_4 vira [\,0,\\\ 0,\\\ 0,\\\ -\tfrac{9}{4}\;|\;\tfrac{27}{4}\,].
Matriz resultante:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 0 & \tfrac{1}{8} & \tfrac{5}{8}\\[6pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{13}{8} & -\tfrac{47}{8}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{3}{8} & \tfrac{7}{8}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & -\tfrac{9}{4} & \tfrac{27}{4} \end{array}\right]
Comentário: agora só resta uma incógnita efetivamente indevida na última linha (coluna de w) — vamos obter o pivô final.]

Passo 7

Obter o pivô em w (quarta coluna) a partir de R_4. R_4 tem -\tfrac{9}{4} na coluna de w; dividimos a linha por esse número para tornar o pivô igual a 1.
Operação:
  • R_4 \leftarrow \left(-\tfrac{4}{9}\right) R_4.
Cálculo:
-\tfrac{4}{9}\cdot\left(-\tfrac{9}{4}\right)=1, \qquad -\tfrac{4}{9}\cdot\left(\tfrac{27}{4}\right)=-3.
Logo R_4 = [\,0,\\\ 0,\\\ 0,\\\ 1\;|\;-3\,].
Agora fazemos o escalonamento reduzido (redução para forma reduzida por linhas): eliminar os coeficientes de w nas linhas superiores usando R_4.
Operações:
  • R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{1}{8}R_4.
  • R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac{13}{8}R_4.
  • R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{3}{8}R_4.
Compute cada RHS:
Para R_1:
\text{novo RHS} = \tfrac{5}{8} - \tfrac{1}{8}\cdot(-3) = \tfrac{5}{8} + \tfrac{3}{8} = 1.
Assim R_1 = [\,1,\\\ 0,\\\ 0,\\\ 0\;|\;1\,] (i.e. x=1).
Para R_2:
\text{novo RHS} = -\tfrac{47}{8} - \tfrac{13}{8}\cdot(-3) = -\tfrac{47}{8} + \tfrac{39}{8} = -\tfrac{8}{8} = -1.
Assim R_2 = [\,0,\\\ 1,\\\ 0,\\\ 0\;|\;-1\,] (i.e. y=-1).
Para R_3:
\text{novo RHS} = \tfrac{7}{8} - \tfrac{3}{8}\cdot(-3) = \tfrac{7}{8} + \tfrac{9}{8} = \tfrac{16}{8} = 2.
Assim R_3 = [\,0,\\\ 0,\\\ 1,\\\ 0\;|\;2\,] (i.e. z=2).
A matriz agora está na forma reduzida por linhas:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & -3 \end{array}\right]]

Passo 8

Interpretação final: a forma reduzida por linhas dá diretamente os valores das incógnitas:
x=1,\qquad y=-1,\qquad z=2,\qquad w=-3.
Verificação rápida (substituir em uma equação qualquer, por exemplo a primeira):
x+y-2z+w = 1 + (-1) - 2\cdot 2 + (-3) = 0 -4 -3 = -7,
que coincide com o termo independente da primeira equação. Isso é um bom cheque de consistência.

Resposta

x=1
y=-1
z=2
w=-3

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