Estude os seguintes sistemas lineares via escalonamento (completo), quando indicado iniciar pela operação dada \left\{\begin{array}{c}x+y-2 z+w=-7 \\\\ 2 x-y+z-w=8 \\\ x+2 y-z+3 w=-12 \\\\ 4 x+y+3 z+w=6\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá um sistema de quatro equações lineares com quatro incógnitas e pede que o sistema seja resolvido via escalonamento (eliminação por operações elementares). As equações fornecidas são (copiadas do enunciado):
Devemos aplicar escalonamento completo: montar matriz aumentada e usar operações elementares sobre linhas até resolver.
O próximo passo é montar a matriz aumentada e começar a eliminação.]
Passo 2
Montar a matriz aumentada do sistema (coeficientes e coluna dos termos independentes). Colocando as linhas na mesma ordem das equações:
Explicação curta: a matriz aumentada tem cada linha correspondendo a uma equação; as colunas (antes da barra) são os coeficientes de x,y,z,w e a coluna após a barra é o termo independente. Nas próximas etapas faremos operações de linhas (troca de linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, adicionar múltiplos de uma linha a outra) — essas operações não mudam o conjunto de soluções.]
Passo 3
Usar R_1 (linha 1) como primeiro pivô para zerar a coluna de x nas outras linhas.
Agora precisamos de um pivô na coluna de y. Observamos que R_3 tem entrada 1 nessa coluna, que é conveniente (já é um 1). Vamos trocar R_2 com R_3 para ter o pivô na segunda linha.
Breve comentário didático: chegamos a um sistema triangular parcial. As entradas não nulas agora estão concentradas para a direita e podemos prosseguir com o pivô na coluna de z (terceira coluna).]
Passo 6
Escolher o pivô na terceira coluna. A linha 3 tem 8 na coluna z. Podemos transformar essa entrada em 1 dividindo a linha por 8, o que facilita a eliminação.
Comentário: agora só resta uma incógnita efetivamente indevida na última linha (coluna de w) — vamos obter o pivô final.]
Passo 7
Obter o pivô em w (quarta coluna) a partir de R_4. R_4 tem -\tfrac{9}{4} na coluna de w; dividimos a linha por esse número para tornar o pivô igual a 1.