Dados \vec{v}=(3,2) e \vec{u}=(7,5), calcule e represente graficamente os vetores:
\vec{v}+\vec{u};

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{v}=(3,2) e \vec{u}=(7,5) e pede para calcular e representar graficamente o vetor \vec{v}+\vec{u}.
Informações relevantes que temos:
  • As componentes do vetor \vec{v} são \,v_x=3 e v_y=2.
  • As componentes do vetor \vec{u} são \,u_x=7 e u_y=5.
  • A tarefa é (1) calcular as componentes de \vec{v}+\vec{u} e (2) explicar como desenhar esse vetor no plano cartesiano.

Passo 2

Relembrando a regra de adição de vetores em componentes (fórmula e significado): para dois vetores em \mathbb{R}^2,
\vec{a}=(a_x,a_y),\qquad \vec{b}=(b_x,b_y),
a soma é definida componente a componente por
\vec{a}+\vec{b}=(a_x+b_x,\;a_y+b_y).
Aqui a_x e b_x são as componentes horizontais (eixo x) dos vetores \vec{a} e \vec{b}; a_y e b_y são as componentes verticais (eixo y). A ideia intuitiva: soma-se a “passo horizontal” com a “passo horizontal” e a “passo vertical” com a “passo vertical”.

Passo 3

Aplicando a fórmula aos nossos vetores \vec{v} e \vec{u}:
  • Soma das componentes x:
v_x+u_x = 3 + 7 = 10.
  • Soma das componentes y:
v_y+u_y = 2 + 5 = 7.
Portanto, pelo cálculo componente a componente,
\vec{v}+\vec{u}=(10,7).

Passo 4

Comentário sobre propriedades úteis (ajuda na prova): a operação é comutativa, ou seja,
\vec{v}+\vec{u}=\vec{u}+\vec{v},
e pode ser verificada rapidamente aqui porque somar as componentes dá o mesmo resultado se invertermos a ordem:
\vec{u}+\vec{v}=(7+3,\;5+2)=(10,7).

Passo 5

Como representar graficamente — instruções passo a passo (método do paralelogramo):
  1. Desenhe um plano cartesiano com eixos x e y. Escolha uma escala confortável (por exemplo, 1 unidade no papel = 1 unidade numérica).
  2. Plote o ponto final de \vec{v} quando a origem é a cauda: A=(3,2). Desenhe uma seta do ponto (0,0) até (3,2) e rotule \vec{v}.
  3. Plote o ponto final de \vec{u} quando a origem é a cauda: B=(7,5). Desenhe uma seta do ponto (0,0) até (7,5) e rotule \vec{u}.
  4. Para usar o paralelogramo, desenhe através dos pontos finais as linhas paralelas correspondentes: a partir de (3,2) desenhe uma linha paralela a \vec{u}; a partir de (7,5) desenhe uma linha paralela a \vec{v}. Essas duas linhas se cruzam no vértice oposto do paralelogramo.
  5. A diagonal do paralelogramo que começa na origem (0,0) e vai até esse vértice oposto é a representação geométrica de \vec{v}+\vec{u}. O vértice oposto terá coordenadas (3+7,\;2+5)=(10,7), confirmando o resultado algébrico.

Passo 6

Como representar graficamente — instruções passo a passo (método ponta-a-cauda, que costuma ser mais rápido na prova):
  1. Desenhe \vec{v} a partir da origem até (3,2).
  2. A partir da ponta (extremidade) de \vec{v} desenhe um vetor com as mesmas componentes de \vec{u} — ou seja, mova-se 7 unidades para a direita e 5 para cima a partir de (3,2). O novo ponto será (3+7,\;2+5)=(10,7).
  3. A seta que vai da origem (0,0) até esse ponto final (10,7) é \vec{v}+\vec{u}. Essa construção visualiza a soma como “ir primeiro \vec{v} e depois \vec{u}”.

Passo 7

Verificação numérica rápida: o vetor obtido tem componente x igual a 10 e componente y igual a 7. Se preferir checar no papel, marque o ponto (10,7) e veja que a diagonal do paralelogramo e o método ponta-a-cauda chegam ao mesmo ponto.

Resposta

\vec{v}+\vec{u}=(10,7)

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