Dados \vec{u}=(m, n, 4), \vec{v}=(3,4,-2) e \vec{w}=(0,3,5). Qual o valor de -15 n+26 m para que se tenha (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})=-300

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\vec{u}=(m,n,4), \vec{v}=(3,4,-2) e \vec{w}=(0,3,5) e pede que o produto misto
(\vec{u},\vec{v},\vec{w})=\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) seja igual a -300.
O que precisamos lembrar é que o produto misto é o determinante cujas linhas (ou colunas) são os componentes de \vec{u},\vec{v},\vec{w}.

Passo 2

Vamos usar a definição
(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) \;=\;\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}).
Primeiro calculamos \vec{v}\times\vec{w}.

Passo 3

O produto vetorial \vec{v}\times\vec{w} é dado pelo determinante
\vec{v}\times\vec{w} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 3 & 4 & -2 \\\\ 0 & 3 & 5 \end{vmatrix} =\mathbf{i}(4\cdot5-(-2)\cdot3)\;-\;\mathbf{j}(3\cdot5-(-2)\cdot0)\;+\;\mathbf{k}(3\cdot3-4\cdot0).
Calculando cada termo:
4\cdot5-(-2)\cdot3=20+6=26,\quad 3\cdot5-(-2)\cdot0=15,\quad 3\cdot3-4\cdot0=9.
Logo,
\vec{v}\times\vec{w}=(26,\,-15,\,9).

Passo 4

Agora fazemos o produto escalar com \vec{u}=(m,n,4):
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = (m,n,4)\cdot(26,-15,9) =26m-15n+4\cdot9 =26m-15n+36.
Impondo (\vec{u},\vec{v},\vec{w})=-300, temos
26m-15n+36=-300 \quad\Longrightarrow\quad 26m-15n=-336.

Passo 5

O enunciado pergunta diretamente o valor de -15n+26m. Da equação acima vemos que
-15n+26m=-336.

Resposta

-336

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