Dados os vetores \vec{u}=(3,4,-3), \vec{v}=(5,-2,5) e \vec{w}=(5,-3,0), qual o valor de (\vec{v}, \vec{w}, \vec{u}) ?

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores \vec u=(3,4,-3), \vec v=(5,-2,5) e \vec w=(5,-3,0) e pede o produto escalar triplo (\vec v,\vec w,\vec u). O produto escalar triplo de três vetores \vec a,\vec b,\vec c pode ser calculado como
(\vec a,\vec b,\vec c)=\vec a\cdot(\vec b\times\vec c),
que equivale ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são os componentes de \vec a,\vec b,\vec c.

Passo 2

Vamos primeiro calcular o produto vetorial \vec w\times\vec u. Usando a fórmula
\vec w\times\vec u =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 5 & -3 & 0\\\\ 3 & 4 & -3 \end{vmatrix},
obtemos
\vec w\times\vec u = \mathbf{i}\bigl((-3)(-3)-0\cdot4\bigr) - \mathbf{j}\bigl(5\cdot(-3)-0\cdot3\bigr) + \mathbf{k}\bigl(5\cdot4-(-3)\cdot3\bigr),
isto é,
\vec w\times\vec u = (9,\;15,\;29).

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar de \vec v com esse resultado:
(\vec v,\vec w,\vec u) =\vec v\cdot(\vec w\times\vec u) =(5,-2,5)\cdot(9,15,29).
Calculando componente a componente,
5\cdot9 + (-2)\cdot15 + 5\cdot29 = 45 - 30 + 145 = 160.

Resposta

160

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