Dados os vetores u = 2i - 3j, v= i-j e w= -2i + j, determinar
a) 2u - v
b) v - u + 2w
c) 1/2 u - 2 v - w
d) 3u - 1/2 v - 1/2 w

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui são três vetores no plano, representados pelas direções dos eixos i e j. Vamos precisar usar operações com vetores, como soma, subtração e multiplicação por escalar. Essas operações nos ajudam a combinar vetores de diferentes maneiras para encontrar novos vetores resultantes.

Passo 2

a) Calcular 2u - v
Primeiro, vamos entender o que significa multiplicar um vetor por um escalar e depois subtrair outro vetor.
  1. Multiplicação por escalar: Quando multiplicamos um vetor por um número (escalar), multiplicamos cada componente do vetor por esse número.
    2u = 2(2i - 3j) = 4i - 6j
  2. Subtração de vetores: Subtrair um vetor de outro significa subtrair as componentes correspondentes.
    2u - v = (4i - 6j) - (i - j) = (4 - 1)i + (-6 + 1)j = 3i - 5j

Passo 3

b) Calcular v - u + 2w
Vamos fazer isso passo a passo, realizando cada operação uma de cada vez.
  1. Subtração de vetores ( v - u):
    v - u = (i - j) - (2i - 3j) = (i - 2i) + (-j + 3j) = -i + 2j
  2. Multiplicação de w por 2 ( 2w):
    2w = 2(-2i + j) = -4i + 2j
  3. Soma dos resultados:
    -i + 2j + (-4i + 2j) = (-1 - 4)i + (2 + 2)j = -5i + 4j

Passo 4

c) Calcular 12u - 2v - w
Vamos dividir isso em partes para facilitar.
  1. Multiplicação de u por 12:
    12u = 12(2i - 3j) = i - 32j
  2. Multiplicação de v por 2:
    2v = 2(i - j) = 2i - 2j
  3. Multiplicação de w por 1:
    w = -2i + j
  4. Subtração dos vetores:
    12u - 2v - w = (i - 32j) - (2i - 2j) - (-2i + j)
    = i - 32j - 2i + 2j + 2i - j
    = (1 - 2 + 2)i + (-32 + 2 - 1)j = i - 12j

Passo 5

d) Calcular 3u - 12v - 12w
Vamos resolver cada parte passo a passo.
  1. Multiplicação de u por 3:
    3u = 3(2i - 3j) = 6i - 9j
  2. Multiplicação de v por 12:
    12v = 12(i - j) = 12i - 12j
  3. Multiplicação de w por 12:
    12w = 12(-2i + j) = -i + 12j
  4. Subtração dos vetores:
    3u - 12v - 12w = (6i - 9j) - (12i - 12j) - (-i + 12j)
    = 6i - 9j - 12i + 12j + i - 12j
    = (6 - 12 + 1)i + (-9 + 12 - 12)j = 132i - 9j

Resposta

a) 2u - v = 3i - 5j
b) v - u + 2w = -5i + 4j
c) 12u - 2v - w = i - 12j
d) 3u - 12v - 12w = 132i - 9j

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