A transformada de Laplace de funções degrau é uma ferramenta útil para resolver equações diferenciais envolvendo funções descontínuas. Funções degrau são geralmente representadas por u(t - a), onde u(t) é a função degrau unitário e ‘a’ é um parâmetro de deslocamento. A transformada de Laplace de uma função degrau permite simplificar o processo de resolução de equações diferenciais com descontinuidades. Considere a função f(t) = 3u(t - 1) - 2u(t - 2). Utilize a transformada de Laplace e as seguintes asserções para determinar F(s), a transformada de Laplace de f(t): I) A transformada de Laplace de u(t - a) é e to the power of negative a s end exponent over s II) A transformada de Laplace é linear, ou seja, L{af(t) + bg(t)} = aL{f(t)} + bL{g(t)} III) A transformada de Laplace de 3u(t - 1) é fraction numerator 3 e to the power of negative s end exponent over denominator s end fraction IV) A transformada de Laplace de -2u(t - 2) é fraction numerator negative 2 e to the power of negative 2 s end exponent over denominator s plus 1 end fraction Avalie as asserções e escolha a alternativa correta: Escolha uma:
a. Apenas I e II são verdadeiras
b. Apenas I, II e IV são verdadeiras
c. Nenhuma é verdadeira
d. Apenas I, II e III são verdadeiras
e. Todas são verdadeiras
a. Apenas I e II são verdadeiras
b. Apenas I, II e IV são verdadeiras
c. Nenhuma é verdadeira
d. Apenas I, II e III são verdadeiras
e. Todas são verdadeiras
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a Transformada de Laplace aplicada a funções degrau. Precisamos analisar as asserções fornecidas para determinar qual delas está correta. Para isso, vamos usar as propriedades da Transformada de Laplace e entender como ela funciona com funções que têm descontinuidades, como o degrau unitário $ u(t - a) $.
Passo 2
Asserção I: A transformada de Laplace de $ u(t - a) $ é $ \frac{e^{-a s}}{s} $.
Explicação: A Transformada de Laplace de uma função degrau $ u(t - a) $ realmente é dada por $ \frac{e^{-a s}}{s} $. Isso ocorre porque o degrau desloca a função no tempo, introduzindo o termo exponencial $ e^{-a s} $ na transformada.
Conclusão: A asserção I é verdadeira.
Passo 3
Asserção II: A transformada de Laplace é linear, ou seja, $ \mathcal{L}{a f(t) + b g(t)} = a \mathcal{L}{f(t)} + b \mathcal{L}{g(t)} $.
Explicação: A linearidade é uma propriedade fundamental da Transformada de Laplace. Isso significa que, se você tem uma combinação linear de funções, a transformada dela é a combinação linear das transformadas individuais das funções.
Conclusão: A asserção II é verdadeira.
Passo 4
Asserção III: A transformada de Laplace de $ 3u(t - 1) $ é $ \frac{3e^{-s}}{s} $.
Explicação: Aplicando a Transformada de Laplace na função $ 3u(t - 1) $, usamos a linearidade da transformada:
Conclusão: A asserção III é verdadeira.
Passo 5
Asserção IV: A transformada de Laplace de $ -2u(t - 2) $ é $ \frac{-2e^{-2s}}{s + 1} $.
Explicação: Vamos aplicar a Transformada de Laplace na função $ -2u(t - 2) $:
Erro na Asserção: A fórmula apresentada na asserção IV tem $ s + 1 $ no denominador, o que está incorreto. O denominador correto é apenas $ s $, não $ s + 1 $.
Conclusão: A asserção IV é falsa.
Resposta
A alternativa correta é:
d. Apenas I, II e III são verdadeiras