Dados os vetores a=<4,0,3> e b=<-2,1,5> encontre:
a) 2 a+5 b
b) a.b (produto escalar)
c) a times b (produto vetorial)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, a = lang<= 4, 0, 3 rang<= e b = lang<= -2, 1, 5 rang<=. O exercício pede para a gente:
a) Calcular 2 a + 5 b
b) Encontrar o produto escalar a cdot b
c) Descobrir o produto vetorial a times b
Para resolver isso, vamos usar operações básicas com vetores: adição, multiplicação por escalar, produto escalar e produto vetorial. Vou explicar cada parte passo a passo!

Passo 2

Vamos começar com a parte a): calcular 2 a + 5 b.
Primeiro, precisamos multiplicar cada vetor por o escalar correspondente:
  • 2 a = 2 times lang<= 4, 0, 3 rang<= = lang<= 2 times 4, 2 times 0, 2 times 3 rang<= = lang<= 8, 0, 6 rang<=
  • 5 b = 5 times lang<= -2, 1, 5 rang<= = lang<= 5 times (-2), 5 times 1, 5 times 5 rang<= = lang<= -10, 5, 25 rang<=
Agora, somamos os resultados:
lang<= 8, 0, 6 rang<= + lang<= -10, 5, 25 rang<= = lang<= 8 + (-10), 0 + 5, 6 + 25 rang<= = lang<= -2, 5, 31 rang<=

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): encontrar o produto escalar a cdot b.
O produto escalar de dois vetores a = lang<= a1, a2, a3 rang<= e b = lang<= b1, b2, b3 rang<= é calculado assim:
a cdot b = a1 times b1 + a2 times b2 + a3 times b3
Aplicando isso aos nossos vetores:
a cdot b = (4) times (-2) + (0) times 1 + (3) times 5 = -8 + 0 + 15 = 7

Passo 4

Finalmente, a parte c): calcular o produto vetorial a times b.
O produto vetorial de dois vetores no espaço tridimensional resulta em um novo vetor perpendicular aos dois originais. A fórmula para calcular é:
a times b = lang<= a2 b3 - a3 b2, a3 b1 - a1 b3, a1 b2 - a2 b1 rang<=
Vamos aplicar isso:
  • Componente x: (0)(5) - (3)(1) = 0 - 3 = -3
  • Componente y: (3)(-2) - (4)(5) = -6 - 20 = -26
  • Componente z: (4)(1) - (0)(-2) = 4 - 0 = 4
Então,
a times b = lang<= -3, -26, 4 rang<=

Resposta

a) 2 a + 5 b = lang<= -2, 5, 31 rang<=
b) a cdot b = 7
c) a times b = lang<= -3, -26, 4 rang<=

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