Encontre os pontos para os quais o gradiente da função
é zero. Alguns desses pontos são pontos de máximo ou de mínimo da função
?
Passo 1
Vamos resumir: temos a função f(x,y)=\sin(x)\cos(y) e queremos encontrar os pontos em que o gradiente
é zero. Para isso vamos usar derivadas parciais e depois o teste da segunda derivada para classificar máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de f: a derivada em relação a x é
e em relação a y é
.
Passo 3
Igualando-as a zero, obtemos o sistema:
Passo 4
Para resolver, dividimos em dois casos:
– Caso 1: e
• implica
.
• implica
.
Logo pontos .
– Caso 2: e
• implica
.
• implica
.
Logo pontos .
– Caso 1:
•
•
Logo pontos
– Caso 2:
•
•
Logo pontos
Passo 5
Agora vamos classificar esses pontos usando as derivadas de segunda ordem. Calculamos:
O discriminante é
O discriminante é
Passo 6
Avaliando nos pontos:
– Para :
,
, dá
.
• Se (ou seja
), é máximo local.
• Se (ou seja
), é mínimo local.
– Para :
ou
, dá
, então são pontos de sela.
– Para
• Se
• Se
– Para
Resposta
Os pontos críticos são:
-
, onde k,m são inteiros. Dessas, quando k+m é par temos máximo local (f=1) e quando k+m é ímpar temos mínimo local (f=-1). -
, onde k,m são inteiros. Esses são pontos de sela (f=0).