Encontre os pontos para os quais o gradiente da função
f(x, y)=sin (x) cos (y)
é zero. Alguns desses pontos são pontos de máximo ou de mínimo da função f ?

Passo 1

Vamos resumir: temos a função f(x,y)=\sin(x)\cos(y) e queremos encontrar os pontos em que o gradiente nabla f=(fx,fy) é zero. Para isso vamos usar derivadas parciais e depois o teste da segunda derivada para classificar máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f: a derivada em relação a x é fx=partial fpartial x=cos(x)cos(y)e em relação a y é fy=partial fpartial y=-sin(x)sin(y).

Passo 3

Igualando-as a zero, obtemos o sistema: cos(x)cos(y)=0,sin(x)sin(y)=0

Passo 4

Para resolver, dividimos em dois casos:
– Caso 1: cos(x)=0 e sin(y)=0
cos(x)=0 implica x=tfracpi2+kpi.
sin(y)=0 implica y=mpi.
Logo pontos (x,y)=(tfracpi2+kpi,,mpi).
– Caso 2: cos(y)=0 e sin(x)=0
cos(y)=0 implica y=tfracpi2+mpi.
sin(x)=0 implica x=kpi.
Logo pontos (x,y)=(kpi,,tfracpi2+mpi).

Passo 5

Agora vamos classificar esses pontos usando as derivadas de segunda ordem. Calculamos:
fxx=-sin(x)cos(y), fyy=-sin(x)cos(y), fxy=-cos(x)sin(y)
O discriminante é
D=fxxfyy-(fxy)^2=sin^2(x)cos^2(y)-cos^2(x)sin^2(y)

Passo 6

Avaliando nos pontos:
– Para (x,y)=(tfracpi2+kpi,,mpi): sin(x)=pm1, cos(y)=pm1, dá D=1>0.
• Se fxx=-sin(x)cos(y)<0 (ou seja (-1)^k+m=1), é máximo local.
• Se fxx>0 (ou seja (-1)^k+m=-1), é mínimo local.
– Para (x,y)=(kpi,,tfracpi2+mpi): sin(x)=0 ou cos(y)=0, dá D<0, então são pontos de sela.

Resposta

Os pontos críticos são:
  1. (x,y)=(tfracpi2+kpi,,mpi), onde k,m são inteiros. Dessas, quando k+m é par temos máximo local (f=1) e quando k+m é ímpar temos mínimo local (f=-1).
  2. (x,y)=(kpi,,tfracpi2+mpi), onde k,m são inteiros. Esses são pontos de sela (f=0).

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