Dados os vetores boldsymbol{u}=(6,4,5), \boldsymbol{v}=(-3,-7,-1) e boldsymbol{w}=(-8,-9,3), calcular:
|\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}|

Passo 1

O enunciado fornece três vetores no espaço e pede o módulo (comprimento) da soma deles. Dados:
\boldsymbol{u}=(6,4,5),\qquad \boldsymbol{v}=(-3,-7,-1),\qquad \boldsymbol{w}=(-8,-9,3).
Pergunta a responder:
  • Calcular \big|\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}\big|.

Passo 2

Lembrete prático sobre soma de vetores em coordenadas: para dois vetores quaisquer \boldsymbol{a}=(a_1,a_2,a_3) e \boldsymbol{b}=(b_1,b_2,b_3) a soma é feita componente a componente:
\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(a_1+b_1,\;a_2+b_2,\;a_3+b_3).
Aplicando isso para somar \boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}, é só somar cada coordenada correspondente. Primeiro somo as primeiras componentes:
6 + (-3) + (-8) = 6 - 3 - 8 = -5.
Depois as segundas componentes:
4 + (-7) + (-9) = 4 - 7 - 9 = -12.
E as terceiras componentes:
5 + (-1) + 3 = 5 - 1 + 3 = 7.
Portanto a soma é
\boldsymbol{s}=\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}=(-5,-12,7).

Passo 3

Agora precisamos do módulo (norma) de um vetor em \mathbb{R}^3. Para um vetor \boldsymbol{x}=(x_1,x_2,x_3) o módulo é dado por:
\big|\boldsymbol{x}\big|=\sqrt{x_1^{2}+x_2^{2}+x_3^{2}}.
Isto vem da generalização do Teorema de Pitágoras para 3 dimensões: o comprimento é a raiz quadrada da soma dos quadrados das coordenadas.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao vetor \boldsymbol{s}=(-5,-12,7):
\big|\boldsymbol{s}\big|=\sqrt{(-5)^{2}+(-12)^{2}+7^{2}}.
Calculo cada quadrado:
(-5)^{2}=25,\qquad (-12)^{2}=144,\qquad 7^{2}=49.
Somando:
25+144+49=169+49=218.
Logo
\big|\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}\big|=\sqrt{218}.

Passo 5

Se for útil ter uma aproximação decimal rápida (para ter uma noção do tamanho), \sqrt{218}\approx 14{,}76. Mas a forma exata e mais comum de resposta em provas é a forma radical \sqrt{218}.

Resposta

\sqrt{218}

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