Dados os vetores boldsymbol{u}=(5,9,-5), \boldsymbol{v}=(6,-2,7) e boldsymbol{w}=(-7,-1,-8), calcular:
2 u+|w| v

Passo 1

O enunciado dá os vetores e pede uma combinação linear. As informações fornecidas são:
  • \mathbf{u}=(5,9,-5).
  • \mathbf{v}=(6,-2,7).
  • \mathbf{w}=(-7,-1,-8).
    O que se pede calcular é a expressão \;2\mathbf{u}+|\mathbf{w}|\,\mathbf{v}.

Passo 2

Entendendo as operações que aparecem (pequena aula prática):
  • |\mathbf{w}| é o módulo (ou norma) do vetor \mathbf{w}. Para um vetor \mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3) em \mathbb{R}^3 a fórmula do módulo é
|\mathbf{w}|=\sqrt{w_1^2+w_2^2+w_3^2}.
Aqui w_1,w_2,w_3 são as componentes do vetor e a operação soma dos quadrados seguida de raiz vem da generalização do teorema de Pitágoras para 3 dimensões.
  • Multiplicação de um vetor por um escalar: se \lambda é um número e \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3), então
\lambda\mathbf{a}=(\lambda a_1,\lambda a_2,\lambda a_3).
Ou seja, multiplica-se cada componente por \lambda.
  • Soma de vetores em \mathbb{R}^3: se \mathbf{p}=(p_1,p_2,p_3) e \mathbf{q}=(q_1,q_2,q_3), então
\mathbf{p}+\mathbf{q}=(p_1+q_1,\;p_2+q_2,\;p_3+q_3).
Ou seja, soma-se componente a componente.

Passo 3

Calcular o módulo de \mathbf{w} usando a fórmula do Passo 2. As componentes de \mathbf{w} são w_1=-7, w_2=-1, w_3=-8. Então
|\mathbf{w}|=\sqrt{(-7)^2+(-1)^2+(-8)^2}=\sqrt{49+1+64}=\sqrt{114}.
Portanto o escalar que multiplicará \mathbf{v} é \sqrt{114}.

Passo 4

Calcular 2\mathbf{u} por multiplicação escalar. Como \mathbf{u}=(5,9,-5),
2\mathbf{u}=(2\cdot5,\;2\cdot9,\;2\cdot(-5))=(10,\;18,\;-10).

Passo 5

Calcular |\mathbf{w}|\mathbf{v} multiplicando \mathbf{v}=(6,-2,7) pelo escalar \sqrt{114}:
|\mathbf{w}|\mathbf{v}=\sqrt{114}\,(6,-2,7)=(6\sqrt{114},\;-2\sqrt{114},\;7\sqrt{114}).

Passo 6

Agora somar os dois vetores obtidos componente a componente (lembrando que a soma será apresentada na seção final). As componentes parciais somadas são:
  • primeira componente: 10 + 6\sqrt{114},
  • segunda componente: 18 + (-2\sqrt{114}) = 18 - 2\sqrt{114},
  • terceira componente: -10 + 7\sqrt{114}.

Resposta

(10+6\sqrt{114},\;18-2\sqrt{114},\;-10+7\sqrt{114})

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