Dados os vetores u=(2,-1,3), v=(1,-2,4) e w=(2,0,3), calcular (u, v, w). Qual o significado geométrico desse valor encontrado?

Passo 1

O enunciado dá os vetores u=(2,-1,3), v=(1,-2,4) e w=(2,0,3) e pede o produto misto (u,v,w). O conteúdo aqui é o produto misto de três vetores em R^3, que se calcula como
(u,v,w) = ucdot(vtimesw)
e cujo valor geométrico é o volume orientado do paralelepípedo gerado por u,v,w.

Passo 2

Escrevemos o produto misto como determinante da matriz cujas linhas são as componentes de u, v e w:
(u,v,w) = 2 & -1 & 3 1 & -2 & 4 2 & 0 & 3

Passo 3

Calculamos o determinante por expansão em relação à primeira linha:
(u,v,w) &= 2-2 & 40 & 3 -(-1)1 & 42 & 3 +31 & -22 & 0 &= 2l((-2)cdot3 - 4cdot0r) +1l(1cdot3 - 4cdot2r) +3l(1cdot0 - (-2)cdot2r) &= 2(-6) + (3-8) + 3(4) &= -12 -5 +12 &= -5

Passo 4

O valor -5 é o volume orientado do paralelepípedo determinado por u,v,w. O volume propriamente dito é o valor absoluto, isto é, lvert -5rvert = 5.

Resposta

(u,v,w) = -5.
Geometricamente, este valor é o volume orientado do paralelepípedo gerado pelos três vetores, e o volume em módulo é 5.

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