Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta por meios de argumentos, esquemas, por verificações ou por contraexemplos.
Dadas as matrizes A e B de ordem 2 então
ou
, onde 0 é a matriz nula.
Dadas as matrizes A e B de ordem 2 então
Passo 1
O enunciado afirma que, para matrizes quadradas
e
de ordem
, a condição
implicaria que
ou
. O conteúdo envolvido é o estudo de divisores de zero em anéis de matrizes. Vamos verificar se essa propriedade se mantém em
.
Passo 2
Em geral, em um anel não comutativo como o anel das matrizes, podem existir divisores de zero não nulos. Ou seja, podem haver matrizes
e
tais que
. Logo, para refutar a afirmação, basta apresentar um contraexemplo em
.
Passo 3
Escolhemos duas matrizes de posto
, nenhuma delas nula, e tal que o espaço coluna de
esteja contido no núcleo de
. Por exemplo,
Passo 4
Vamos calcular o produto
. Seja
. O elemento
de
é
e de modo análogo cada entrada de
é zero, pois todas as linhas de
são iguais e todas as colunas de
são iguais. Logo,
Note que
e
, mas
.]
Passo 5
Como encontramos matrizes não nulas que satisfazem
, a afirmação do enunciado é falsa.
Resposta
Falsa.