Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta por meios de argumentos, esquemas, por verificações ou por contraexemplos.
Dadas as matrizes A e B de ordem 2 então A B=0 Rightarrow A=0 ou B=0, onde 0 é a matriz nula.

Passo 1

O enunciado afirma que, para matrizes quadradas A e B de ordem 2, a condição
AB = 0
implicaria que A = 0 ou B = 0. O conteúdo envolvido é o estudo de divisores de zero em anéis de matrizes. Vamos verificar se essa propriedade se mantém em M2times2( R).

Passo 2

Em geral, em um anel não comutativo como o anel das matrizes, podem existir divisores de zero não nulos. Ou seja, podem haver matrizes Aneq0 e Bneq0 tais que AB=0. Logo, para refutar a afirmação, basta apresentar um contraexemplo em M2times2( R).

Passo 3

Escolhemos duas matrizes de posto 1, nenhuma delas nula, e tal que o espaço coluna de B esteja contido no núcleo de A. Por exemplo,
A = 1 & -1[6pt] 1 & -1, B = 1 & 1[6pt] 1 & 1 ]

Passo 4

Vamos calcular o produto AB. Seja C = AB. O elemento c11 de C é
c11 = 1 cdot 1 + (-1) cdot 1 = 0,
e de modo análogo cada entrada de C é zero, pois todas as linhas de A são iguais e todas as colunas de B são iguais. Logo,
AB = 0 & 0[4pt] 0 & 0
Note que A neq 0 e B neq 0, mas AB = 0.]

Passo 5

Como encontramos matrizes não nulas que satisfazem AB=0, a afirmação do enunciado é falsa.

Resposta

Falsa.

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