Dados os vetores m=(2, k) e n=(6,-1), calcular k para que os vetores m e n sejam:
(a) Ortogonais.
(b) Paralelos.
(c) O ângulo entre eles seja de 45^circ.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
vec m=(2,k) e vec n=(6,-1)
e pede valores de k para que sejam: ortogonais, paralelos e formem ângulo de 45^circ.
Vamos usar: produto escalar para ortogonalidade, proporcionalidade de componentes para paralelismo, e a fórmula
costheta = vec mcdotvec n|vec m||vec n|
para o ângulo.

Passo 2

Ortogonalidade significa
vec mcdotvec n = 0
Calculando o produto escalar:
vec mcdotvec n = 2cdot6 + kcdot(-1) = 12 - k
Logo, impomos
12 - k = 0
e obtemos
k = 12

Passo 3

Paralelismo significa que existe lambda tal que
vec m = lambda,vec n
Isso dá o sistema
2 = 6lambda, k = -1cdotlambda
Da primeira equação vem lambda = tfrac26=tfrac13. Então
k = -13

Passo 4

Para o ângulo theta=45^circ usamos
cos45^circ = raiz22 =vec mcdotvec n|vec m||vec n|
Aqui
vec mcdotvec n = 12 - k, |vec m| = raiz2^2 + k^2 = raiz4 + k^2, |vec n| = raiz6^2 + (-1)^2 = raiz37
Substituindo em display:
12 - kraiz4 + k^2,raiz37 = raiz22
Elevando ao quadrado:
(12 - k)^2(4 + k^2),37 = 24 = 12,
2(12 - k)^2 = 37(4 + k^2)
Isso leva à equação
70k^2 + 96k - 280 = 0

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática
70k^2 + 96k - 280 = 0
temos discriminante
De<a = 96^2 - 4cdot70cdot(-280) = 21904 = 148^2
Logo as raízes são
k = -96 pm 1482cdot70 = -96 +148140 ou -96 -148140,
resultando em
k = 52140 = 107 ou k = -244140 = -145

Resposta

(a) k = 12
(b) k = -tfrac13
(c) k = tfrac107 ou k = -tfrac145

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