Dados os vetores
e
, calcular k para que os vetores
e
sejam:
(a) Ortogonais.
(b) Paralelos.
(c) O ângulo entre eles seja de
.
(a) Ortogonais.
(b) Paralelos.
(c) O ângulo entre eles seja de
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
e pede valores de para que sejam: ortogonais, paralelos e formem ângulo de
.
Vamos usar: produto escalar para ortogonalidade, proporcionalidade de componentes para paralelismo, e a fórmula
e pede valores de
Vamos usar: produto escalar para ortogonalidade, proporcionalidade de componentes para paralelismo, e a fórmula
para o ângulo.
Passo 2
Ortogonalidade significa
Calculando o produto escalar:
Logo, impomos
e obtemos
Passo 3
Paralelismo significa que existe
tal que
Isso dá o sistema
Da primeira equação vem
. Então
Passo 4
Para o ângulo
usamos
Aqui
Substituindo em display:
Elevando ao quadrado:
Isso leva à equação
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática
temos discriminante
Logo as raízes são
resultando em
Resposta
(a)
(b)
(c) ou
(b)
(c)