Verificar em cada um dos casos se o subconjunto B do espaço vetorial V é uma base de V.
B=(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0), V=R^4.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o conjunto
B=(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0) em V=R^4 e queremos verificar se B é base de V. O que precisamos mostrar é que esses quatro vetores são linearmente independentes (pois em R^4, quatro vetores independentes já formam base).

Passo 2

Formamos a matriz cujas linhas são esses vetores e calculamos seu determinante por operações de linha:
A = 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0

Passo 3

Aplicamos operações do tipo Li Li - Lj, que não alteram o determinante:
L1 L1 - L2,
L2 L2 - L3,
L3 L3 - L4.
Isso gera a matriz
A' = 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0

Passo 4

Observamos que A' é a matriz de permutação que inverte a ordem das colunas, obtida por um número par de trocas de colunas (6 inversões), portanto
det(A') = +1
Como operações Li Li + k,Lj não alteram o determinante, segue que
det(A) = det(A') = 1 neq 0
Logo as linhas de A (isto é, os vetores de B) são linearmente independentes.

Passo 5

Concluímos que B tem quatro vetores linearmente independentes em R^4, ou seja, gera todo o espaço. Portanto,
B é de fato uma base de V=R^4.

Resposta

B é uma base de V=R^4.

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