Dados os vetores u=(2,-1,3), v=(-2,1,2). Determine:
a) O ângulo entre u e v. Resp.: theta=arccos (raiz1442)
b) A projeção do vetor u na direção do vetor v. Resp.: projv(u)=(-29, 19, 29)

Passo 1

O enunciado fornece os vetores u=(2,-1,3) e v=(-2,1,2) e pede:
a) o ângulo theta entre u e v, usando produto escalar e normas;
b) a projeção de u sobre v, usando a definição projv(u)=ucdot vvcdot v,v.

Passo 2

Calcular o produto escalar e as normas de u e v:
ucdot v = 2cdot(-2) + (-1)cdot1 + 3cdot2 = -4 -1 +6 = 1
lVert urVert = raiz2^2 + (-1)^2 + 3^2 = raiz14, lVert vrVert = raiz(-2)^2 + 1^2 + 2^2 = 3

Passo 3

Usar a fórmula do cosseno do ângulo:
cos(theta) = ucdot vlVert urVert,lVert vrVert = 13raiz14 = raiz1442
Logo,
theta = arccos!l(tfracraiz1442r)

Passo 4

Calcular a projeção de u em v:
vcdot v = 3^2 = 9, ucdot vvcdot v = 19
Portanto,
projv(u) = 19,(-2,1,2) = l(-tfrac29,,tfrac19,,tfrac29r)

Resposta

(a) theta = arccos!l(tfracraiz1442r)
(b) projv(u)=l(-tfrac29,,tfrac19,,tfrac29r)

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