Os vértices de um triângulo são os pontos A(-1,2,4), B(3,-3,4) e C(-1,6,1). Determine a altura ao vértice
B. Resp.: 5u.c.

Passo 1

O enunciado nos dá um triângulo cujos vértices são os pontos A(-1,2,4), B(3,-3,4) e C(-1,6,1) no espaço tridimensional. Precisamos encontrar a altura relativa ao vértice B, ou seja, a distância do ponto B à reta que passa por A e C. Para isso, vamos usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta em R^3 baseada no produto vetorial.

Passo 2

Para aplicar a fórmula, definimos dois vetores que partem de A:
AB = B - A = (3 - (-1),,-3 - 2,,4 - 4) = (4,,-5,,0),
AC = C - A = (-1 - (-1),,6 - 2,,1 - 4) = (0,,4,,-3)

Passo 3

O produto vetorial AB times AC tem magnitude igual à área do paralelogramo formado pelos dois vetores. Calculando-o:
AB times AC = i & j & k 4 & -5 & 0 0 & 4 & -3 = (15,,12,,16)

Passo 4

Agora calculamos as magnitudes necessárias:
|AB times AC| = raiz15^2 + 12^2 + 16^2 = raiz225 + 144 + 256 = 25,
|AC| = raiz0^2 + 4^2 + (-3)^2 = raiz16 + 9 = 5

Passo 5

A distância do ponto B à reta AC (que é a altura relativa a B) é
d = |AB times AC||AC| = 255 = 5

Resposta

A altura ao vértice B vale 5 unidades de comprimento.

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