Dados os vetores O A=(1, y, 2), O B=(2,0,1) e O C=(0,3,1), determine o valor de y para que a altura do tetraedro O A B C, em relação à base O B C, seja igual a 17 u. c.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
OA=(1,y,2), OB=(2,0,1) e OC=(0,3,1)
e pede o valor de y para que a altura do tetraedro OABC em relação à base OBC seja
tfrac17.
Vamos usar a fórmula da distância (altura) de um ponto ao plano gerado por dois vetores:
h = l|(OBtimesOC)cdotOAr||OBtimesOC|

Passo 2

Calculamos o produto vetorial OBtimesOC:
OBtimesOC = det i & j & k 2 & 0 & 1 0 & 3 & 1 = (-3,,-2,,6)
O módulo desse vetor é
|(-3,-2,6)| = raiz(-3)^2+(-2)^2+6^2 = raiz9+4+36 = 7

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar (OBtimesOC)cdotOA:
(-3,-2,6)cdot(1,y,2) = -3cdot1 + (-2),y + 6cdot2 = -3 -2y +12 = 9 - 2y

Passo 4

Substituindo na fórmula da altura:
h = l|9 - 2yr|7
e queremos h = tfrac17. Logo
|9 - 2y|7 = 17 Longrightarrow |9 - 2y| = 1

Passo 5

Resolvendo |9 - 2y| = 1:
9 - 2y = 1 Longrightarrow 2y = 8 Longrightarrow y = 4,
9 - 2y = -1 Longrightarrow 2y = 10 Longrightarrow y = 5

Resposta

y = 4 ou y = 5.

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