De um triângulo A B C, sabemos que: |A B|=2,|A C|=3 e A B cdot A C=3 raiz3. Determine a área deste triângulo.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC em que os vetores AB e AC têm comprimentos
l|ABr|=2, l|ACr|=3 e produto escalar
ABcdotAC=3raiz3. Precisamos achar a área do triângulo. O conteúdo usado será a relação entre produto escalar, ângulo entre vetores e a fórmula da área
área=tfrac12,|AB|;|AC|;sintheta á

Passo 2

Da definição de produto escalar temos
ABcdotAC =|AB|;|AC|;costheta,
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costheta =ABcdotAC|AB|;|AC| =3raiz32cdot3 =raiz32

Passo 3

Como sin^2theta=1-cos^2theta, segue
sintheta =raiz1-l(raiz32r)^2 =raiz1-34 =raiz14 =12

Passo 4

Substituindo na fórmula da área do triângulo:
área =12;|AB|;|AC|;sintheta =12cdot2cdot3cdot12 =32 á

Resposta

A área do triângulo ABC é tfrac32.

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