Sejam A B, A D e A E arestas de um paralelepípedo retângulo de volume 12 u.v. Sabemos que A(0,0,0), C(4,1,0) e A B=(raiz22, 0, raiz22). Determine:
a) A área do base A B C D.
b) As coordenadas do vértice E.

Passo 1

O enunciado descreve um paralelepípedo reto cujas arestas que partem de A são AB, AD e AE, todas mutuamente perpendiculares, e cujo volume é
V = l|ABcdot(ADtimesAE)r| = 12
A base é o paralelogramo ABCD, que por ser face de um paralelepípedo reto é um retângulo, logo ABperpAD.
Vetores e produtos vetoriais serão usados para encontrar a área da base e, em seguida, a aresta AE.

Passo 2

Calculemos primeiro AC. Como A=(0,0,0) e C=(4,1,0),
AC = C - A = (4,,1,,0)

Passo 3

Para obter AD perpendicular a AB e de modo que A,C,B,D fiquem coplanares, projetamos AC sobre AB e subtraímos de AC:
projAB(AC) = ACcdotABABcdotAB;AB
Aqui AB=l(tfracraiz22,0,tfracraiz22r), então
ACcdotAB = (4,1,0)cdotl(tfracraiz22,0,tfracraiz22r) = 4cdottfracraiz22 + 0 = 2raiz2,
e ABcdotAB=1. Logo
projAB(AC) = 2raiz2;AB = 2raiz2;l(tfracraiz22,0,tfracraiz22r) = (2,,0,,2)
Portanto
AD = AC - projAB(AC) = (4,1,0) - (2,0,2) = (2,,1,,-2),
e de fato ABcdotAD=0.

Passo 4

A área da base ABCD é a área do paralelogramo gerado por AB e AD, dada por
A = l|ABtimesADr|
Calculemos o produto vetorial:
ABtimesAD = i&j&k tfracraiz22&0&tfracraiz22 2&1&-2 = l(-tfracraiz22,,2raiz2,,tfracraiz22r)
Seu módulo é
l|ABtimesADr| = raizl(-tfracraiz22r)^2+l(2raiz2r)^2+l(tfracraiz22r)^2 = raiztfrac12 + 8 + tfrac12 = raiz9 = 3

Passo 5

Do volume V = |AB|cdot|AD|cdot|AE| = A,l|AEr| e como A=3 e V=12, segue
l|AEr| = VA = 123 = 4
O vetor AE é perpendicular ao plano da base, portanto paralelo ao vetor normal
n = ABtimesAD|ABtimesAD| = 13l(-tfracraiz22,,2raiz2,,tfracraiz22r) = l(-tfracraiz26,,tfrac2raiz23,,tfracraiz26r)
Escolhendo o sentido que faz z>0, temos
AE = 4,n = l(-tfrac2raiz23,,tfrac8raiz23,,tfrac2raiz23r)
Então
E = A + AE = l(-tfrac2raiz23,,tfrac8raiz23,,tfrac2raiz23r)

Resposta

a) A área da base ABCD é 3 unidades de área.
b) As coordenadas do vértice E são
El(-tfrac2raiz23,,tfrac8raiz23,,tfrac2raiz23r)

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