Dados os vetores A=3 i+4 j-5 k e B=-i+2 j+6 k, usando álgebra vetorial, calcule:
a) os módulos de A e de B;
b) o produto escalar A cdot B;
c) módulos da soma A+B;
d) o produto vetorial A times B;
e) ângulo entre A e B.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em R^3,
A=3,i+4,j-5,k e B=-,i+2,j+6,k,
e pede:
a) os módulos de A e B;
b) o produto escalar AcdotB;
c) o módulo de A+B;
d) o produto vetorial AtimesB;
e) o ângulo entre A e B.
Isso envolve conceitos de magnitude de vetor, produto escalar, soma de vetores, produto vetorial e fórmula do ângulo via produto escalar.

Passo 2

Calcular os módulos de A e B usando
lvertVrvert=raizVx^2+Vy^2+Vz^2.
|A| = raiz3^2 + 4^2 + (-5)^2 = raiz9 + 16 + 25 = raiz50 = 5raiz2
|B| = raiz(-1)^2 + 2^2 + 6^2 = raiz1 + 4 + 36 = raiz41

Passo 3

Calcular o produto escalar AcdotB pela soma dos produtos das componentes correspondentes:
AcdotB = 3cdot(-1) + 4cdot2 + (-5)cdot6 = -3 + 8 - 30 = -25

Passo 4

Determinar A+B somando componente a componente e em seguida seu módulo:
A + B = (3-1),i + (4+2),j + (-5+6),k = 2,i + 6,j + 1,k
|A + B| = raiz2^2 + 6^2 + 1^2 = raiz4 + 36 + 1 = raiz41

Passo 5

Calcular o produto vetorial AtimesB via determinante:
AtimesB = i & j & k 3 & 4 & -5 -1 & 2 & 6 = (4cdot6 - (-5)cdot2),i - (3cdot6 - (-5)cdot(-1)),j + (3cdot2 - 4cdot(-1)),k
AtimesB = 34,i - 13,j + 10,k

Passo 6

Encontrar o ângulo theta usando
costheta = dfracAcdotB|A|;|B|:
costheta = -25(5raiz2),raiz41 = -255raiz82 = -5raiz82
theta = arccos!gl(-5raiz82gr)approx 123,5^circ

Resposta

a) |A| = 5raiz2, |B| = raiz41
b) AcdotB = -25
c) |A+B| = raiz41
d) AtimesB = 34,i - 13,j + 10,k
e) theta = arccos!l(-5/raiz82r)approx 123,5^circ

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