Um arco é centrado no ponto de coordenadas x=0, y=0. Uma pessoa caminha ao longo deste arco da posição x=5 m, y=0 até uma posição final x=0, y=5 m. (a) Qual é o seu deslocamento? (b) Qual o comprimento percorrido? Uma outra pessoa parte do mesmo ponto inicial em direção à origem e, em seguida até a posição x=0, y=5 m. (c) Qual é o seu deslocamento? (d) Qual o comprimento percorrido?

Passo 1

O enunciado trata de duas pessoas que saem do ponto (5,0) e chegam a (0,5) num plano cartesiano:
– A primeira descreve um arco de círculo de raio 5 m centrado em (0,0).
– A segunda vai reto até a origem e depois reto até (0,5).
Precisamos calcular, em cada caso, o vetor deslocamento e o comprimento total do caminho percorrido.

Passo 2

Para qualquer trajetória entre os mesmos pontos, o deslocamento é o vetor diferença entre ponto final e ponto inicial. Aqui
De<a vec r = (0,5) - (5,0) = (-5,,5)
Sua magnitude é
|De<a vec r| = raiz(-5)^2 + 5^2 = raiz50 = 5raiz2 m

Passo 3

O comprimento percorrido ao longo do arco é a medida de um quarto de circunferência de raio 5 m, pois vai de ângulo 0 a pi/2. Logo
srm arco = R,theta = 5 times pi2 = 5pi2 m

Passo 4

Na segunda pessoa, o deslocamento continua sendo do ponto (5,0) até (0,5), portanto
De<a vec r = (-5,,5),
com magnitude 5raiz2 m, exatamente igual ao caso anterior.

Passo 5

O caminho da segunda pessoa é a soma de dois segmentos retos: de (5,0) a (0,0) com 5 m e de (0,0) a (0,5) com 5 m. Assim
srm reta = 5 + 5 = 10 m

Resposta

(a) O vetor deslocamento é De<a vec r = lang<= -5,,5rang<= e sua magnitude é 5raiz2 m.
(b) O comprimento percorrido ao longo do arco é tfrac5pi2 m.
(c) Novamente De<a vec r = lang<= -5,,5rang<= com magnitude 5raiz2 m.
(d) O comprimento percorrido em reta é 10 m.

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