Um operador de radar estacionário indica que um navio está a 10 km na direção sul. Uma hora mais tarde o mesmo navio está 20 km a sudoeste. Se o navio se move com velocidade constante e sempre na mesma direção, qual foi sua velocidade durante esse tempo?

Passo 1

O enunciado diz que um radar fixo vê um navio a 10 km ao sul e, uma hora depois, o mesmo navio a 20 km a sudoeste. O navio se move em linha reta com velocidade constante. Para achar a velocidade precisamos calcular o módulo do vetor deslocamento em 1 h. Usaremos coordenadas cartesianas no plano: eixo x para leste e y para norte.

Passo 2

Em nosso sistema de eixos, a posição inicial P1 do navio (10 km ao sul) é
P1 = (0,,-10)
A direção sudoeste faz um ângulo de 45^circ para o sul a partir do oeste, ou seja, vetor unitário
u = l(-tfrac1raiz2,,-tfrac1raiz2r)
Assim a posição final P2, a 20 km nesse rumo, é
P2 = 20, u = l(-tfrac20raiz2,,-tfrac20raiz2r) = l(-10raiz2,,-10raiz2r)

Passo 3

O vetor deslocamento é
De<a = P2 - P1 = l(-10raiz2 - 0,,-10raiz2 - (-10)r) = l(-10raiz2,,-10raiz2 + 10r)

Passo 4

O módulo de De<a dá a distância percorrida em 1 h:
|De<a| = raizl(-10raiz2r)^2 + l(-10raiz2 + 10r)^2 = raiz200 + l(100,(3 - 2raiz2)r) = raiz500 - 200raiz2
Numericamente,
|De<a|approx 14,7 km

Passo 5

Como esse deslocamento ocorreu em 1 hora, a velocidade escalar do navio é
v = |De<a|1,h approx 14,7 km/h

Resposta

A velocidade do navio foi aproximadamente 14,7 km/h.

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