Três vetores são dados por, A=3 i-2 j+2 k, B=6 i+4 j-2 k e C=-3 i-2 j-4 k. Calcule os valores de A cdot(B times C) e A times(B times C).

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
A=3i-2j+2k,
B=6i+4j-2k e
C=-3i-2j-4k.
Pede-se (i) o produto misto Acdot(Btimes C) e (ii) o produto vetorial triplo Atimes(Btimes C).
Para isso vamos: primeiro calcular Btimes C, depois usar este resultado no produto misto, e em seguida aplicar a identidade vetorial
Atimes(Btimes C) =B,(Acdot C)-C,(Acdot B)
para obter o produto vetorial triplo.

Passo 2

Calculamos B times C usando o determinante:
B times C = i & j & k 6 & 4 & -2 -3 & -2 & -4 = -20i + 30j + 0k

Passo 3

Agora o produto misto é
Acdot(Btimes C). Usando A=(3,-2,2) e Btimes C=(-20,30,0) no escalar
XcdotY=XxYx+XyYy+XzYz, temos
Acdot(Btimes C) =3cdot(-20)+(-2)cdot30+2cdot0 =-120

Passo 4

Para aplicar a identidade do triplo produto vetorial precisamos de
Acdot B e Acdot C. Calculando:
Acdot B =3cdot6+(-2)cdot4+2cdot(-2)=6, Acdot C =3cdot(-3)+(-2)cdot(-2)+2cdot(-4)=-13

Passo 5

Pela identidade
Atimes(Btimes C) =B,(Acdot C)-C,(Acdot B) =B(-13)-C(6),
logo
Atimes(Btimes C) =-60i-40j+50k

Resposta

Acdot(Btimes C)=-120 Atimes(Btimes C)=-60i-40j+50k

Exercícios relacionados