Sejam a=i+2 j+2 k, b=-j e c=-2 i+4 j-3 k represente-os num S.C.O e ache a+b+c, a-2 b+2 c a+2 b-3 c e -a-b-c

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores! A gente tem três vetores no espaço tridimensional e precisa representá-los num Sistema de Coordenadas Ortorigráficas (S.C.O). Depois, vamos fazer umas combinações deles, tipo somar e subtrair. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como adição de vetores e multiplicação por escalar. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os vetores que nos deram:
  • a = i + 2j + 2k
  • b = -j
  • c = -2i + 4j - 3k
No S.C.O., cada vetor é representado pelas suas componentes nos eixos x, y e z. Por exemplo, a tem 1 na direção x, 2 em y e 2 em z, e assim por diante para os outros vetores.

Passo 3

Agora, vamos calcular a + b + c. Lembra que na soma de vetores, somamos cada componente correspondente:
a + b + c = (i + 2j + 2k) + (-j) + (-2i + 4j - 3k)
Vamos somar as componentes:
  • x: 1 + 0 + (-2) = -1
  • y: 2 + (-1) + 4 = 5
  • z: 2 + 0 + (-3) = -1
Então, a + b + c = -i + 5j - k.

Passo 4

Agora, vamos calcular a - 2b + 2c. Primeiro, vamos multiplicar b por 2 e c por 2:
-2b = -2(-j) = 2j
2c = 2(-2i + 4j - 3k) = -4i + 8j - 6k
Agora, somamos com a:
a - 2b + 2c = (i + 2j + 2k) + (2j) + (-4i + 8j - 6k)
Somando as componentes:
  • x: 1 + 0 + (-4) = -3
  • y: 2 + 2 + 8 = 12
  • z: 2 + 0 + (-6) = -4
Então, a - 2b + 2c = -3i + 12j - 4k.

Passo 5

Vamos para a + 2b - 3c. Primeiro, multiplicamos b por 2 e c por -3:
2b = 2(-j) = -2j
-3c = -3(-2i + 4j - 3k) = 6i - 12j + 9k
Agora, somamos com a:
a + 2b - 3c = (i + 2j + 2k) + (-2j) + (6i - 12j + 9k)
Somando as componentes:
  • x: 1 + 0 + 6 = 7
  • y: 2 + (-2) + (-12) = -12
  • z: 2 + 0 + 9 = 11
Então, a + 2b - 3c = 7i - 12j + 11k.

Passo 6

Por fim, vamos calcular -a - b - c. Isso significa que vamos inverter o sinal de cada vetor e somar:
-a = -(i + 2j + 2k) = -i - 2j - 2k
-b = -(-j) = j
-c = -(-2i + 4j - 3k) = 2i - 4j + 3k
Agora, somamos todos:
-a - b - c = (-i - 2j - 2k) + (j) + (2i - 4j + 3k)
Somando as componentes:
  • x: -1 + 0 + 2 = 1
  • y: -2 + 1 + (-4) = -5
  • z: -2 + 0 + 3 = 1
Então, -a - b - c = i - 5j + k.

Resposta

As combinações dos vetores são:
  1. a + b + c = -i + 5j - k
  2. a - 2b + 2c = -3i + 12j - 4k
  3. a + 2b - 3c = 7i - 12j + 11k
  4. -a - b - c = i - 5j + k

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