Dados os vetores u=2 imath+3 jmath e v= -2 imath+4 jmath, determine:
e) As componentes do vetor u na direção de v;
Resp.: e) projv^u= -1620 imath+3220 j

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem dois vetores, u = 2 imath + 3 jmath e v = -2 imath + 4 jmath. O que a gente precisa descobrir é as componentes do vetor u na direção de v. Para isso, vamos usar o conceito de projeção de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é projeção de um vetor em outro. A projeção de u na direção de v, denotada por projv^u, é basicamente a parte de u que está alinhada com v. A fórmula para calcular essa projeção é:
projv^u = ( u cdot v|v|^2 ) v
Aqui, u cdot v é o produto escalar dos vetores, e |v|^2 é o quadrado do módulo de v.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u cdot v. Lembrando que o produto escalar é dado por:
u cdot v = ux vx + uy vy
Substituindo os valores:
u cdot v = (2)(-2) + (3)(4) = -4 + 12 = 8

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo de v ao quadrado, ou seja, |v|^2:
|v|^2 = (-2)^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20

Passo 5

Com esses valores, podemos substituir na fórmula da projeção:
projv^u = ( 820 ) v = 820 (-2 imath + 4 jmath)

Passo 6

Vamos multiplicar o escalar 820 pelos componentes de v:
projv^u = 820 times (-2) imath + 820 times 4 jmath = -1620 imath + 3220 jmath

Resposta

e) projv^u= -1620 imath + 3220 jmath

Exercícios relacionados