Para que valores de o produto escalar de e b=x i+x j+3 k é igual a 0 ? Escreva os vectores a e b encontrados; que relação existe entre eles.
Passo 1
Vamos resolver um problema de produto escalar entre dois vetores. Precisamos encontrar os valores de $ x $ para os quais o produto escalar dos vetores $ \vec{a} = x,\vec{i} - (x-1),\vec{j} + 3,\vec{k} $ e $ \vec{b} = x,\vec{i} + x,\vec{j} + 3,\vec{k} $ é igual a zero. Para isso, usaremos a definição de produto escalar e propriedades de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar. O produto escalar de dois vetores $ \vec{a} $ e $ \vec{b} $ é dado por:
a
Onde $ a_x, a_y, a_z $ são as componentes de $ \vec{a} $ e $ b_x, b_y, b_z $ são as componentes de $ \vec{b} $.
Passo 3
Vamos identificar as componentes de cada vetor:
Para $ \vec{a} $:
a
Para $ \vec{b} $:
ax = x, ay = -(x - 1), az = 3
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula do produto escalar:
a cdot b = (x)(x) + [-(x - 1)](x) + (3)(3)
Vamos simplificar cada termo:
x cdot x = x^2
-(x - 1) cdot x = -x(x - 1) = -x^2 + x
3 cdot 3 = 9
Então, somando todos os termos:
a cdot b = x^2 - x^2 + x + 9 = x + 9
Passo 5
Queremos que o produto escalar seja igual a zero:
x + 9 = 0
Resolvendo para $ x $:
x
Passo 6
Agora que encontramos $ x = -9 $, substituímos esse valor nos vetores $ \vec{a} $ e $ \vec{b} $:
Para $ \vec{a} $:
x = -9
Para $ \vec{b} $:
a
Passo 7
Finalmente, observamos que os vetores $ \vec{a} $ e $ \vec{b} $ são ortogonais quando $ x = -9 $, já que o produto escalar entre eles é zero.
Resposta
Para $ x = -9 $, os vetores são:
x = -9
a = -9,i + 10,j + 3,k
Nessa condição, os vetores $ \vec{a} $ e $ \vec{b} $ são ortogonais entre si.