Para que valores de x o produto escalar de a=x i-(x-1) j+3 k e b=x i+x j+3 k é igual a 0 ? Escreva os vectores a e b encontrados; que relação existe entre eles.

Passo 1

Vamos resolver um problema de produto escalar entre dois vetores. Precisamos encontrar os valores de $ x $ para os quais o produto escalar dos vetores $ \vec{a} = x,\vec{i} - (x-1),\vec{j} + 3,\vec{k} $ e $ \vec{b} = x,\vec{i} + x,\vec{j} + 3,\vec{k} $ é igual a zero. Para isso, usaremos a definição de produto escalar e propriedades de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar. O produto escalar de dois vetores $ \vec{a} $ e $ \vec{b} $ é dado por:
a
Onde $ a_x, a_y, a_z $ são as componentes de $ \vec{a} $ e $ b_x, b_y, b_z $ são as componentes de $ \vec{b} $.

Passo 3

Vamos identificar as componentes de cada vetor:
Para $ \vec{a} $:
a
Para $ \vec{b} $:
ax = x, ay = -(x - 1), az = 3

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula do produto escalar:
a cdot b = (x)(x) + [-(x - 1)](x) + (3)(3)
Vamos simplificar cada termo:
x cdot x = x^2
-(x - 1) cdot x = -x(x - 1) = -x^2 + x
3 cdot 3 = 9
Então, somando todos os termos:
a cdot b = x^2 - x^2 + x + 9 = x + 9

Passo 5

Queremos que o produto escalar seja igual a zero:
x + 9 = 0
Resolvendo para $ x $:
x

Passo 6

Agora que encontramos $ x = -9 $, substituímos esse valor nos vetores $ \vec{a} $ e $ \vec{b} $:
Para $ \vec{a} $:
x = -9
Para $ \vec{b} $:
a

Passo 7

Finalmente, observamos que os vetores $ \vec{a} $ e $ \vec{b} $ são ortogonais quando $ x = -9 $, já que o produto escalar entre eles é zero.

Resposta

Para $ x = -9 $, os vetores são:
x = -9
a = -9,i + 10,j + 3,k
Nessa condição, os vetores $ \vec{a} $ e $ \vec{b} $ são ortogonais entre si.

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