Dados os vetores A=-4 k e B=i+j+2 k:
Calcule o ângulo entre os dois vetores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, A = -4 k e B = i + j + 2 k. A coisa que queremos descobrir é o ângulo entre esses dois vetores. Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar e as magnitudes dos vetores. Não se preocupa se esses termos parecem complicados, vou explicar tudo passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre A e B. O produto escalar é uma forma de multiplicar dois vetores que resulta em um número. A fórmula para o produto escalar é:
A cdot B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
No nosso caso, A = -4 k tem componentes Ax = 0, Ay = 0 e Az = -4. Já B = i + j + 2 k tem componentes Bx = 1, By = 1 e Bz = 2.
Então,
A cdot B = (0)(1) + (0)(1) + (-4)(2) = 0 + 0 - 8 = -8

Passo 3

Agora, precisamos calcular as magnitudes (ou normas) dos vetores A e B. A magnitude de um vetor é basicamente o seu “tamanho” e é calculada usando a fórmula:
|V| = raizVx^2 + Vy^2 + Vz^2
Para A:
|A| = raiz0^2 + 0^2 + (-4)^2 = raiz0 + 0 + 16 = raiz16 = 4
Para B:
|B| = raiz1^2 + 1^2 + 2^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6 approx 2,45

Passo 4

Com o produto escalar e as magnitudes em mãos, vamos usar a fórmula para encontrar o ângulo theta entre os vetores:
cos(theta) = A cdot B|A| cdot |B|
Substituindo os valores que calculamos:
cos(theta) = -84 times 2,45 = -89,8 approx -0,816

Passo 5

Agora, para encontrar o ângulo theta, vamos usar a função arcos (ou cos⁻¹) que nos dá o ângulo cujo cosseno é o valor que temos:
theta = arccos(-0,816) approx 144°

Resposta

O ângulo entre os vetores A e B é aproximadamente 144 graus.

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