Em t=0 s, um corpo A possui uma velocidade inicial v0=1 m / s e posição inicial x0=1 m. Entre t=0 set=t1 s, sua aceleração é nula. A partir de t=t1=1 s, sua aceleração é descrita por a(t)=a0(t1 / t)^3 m / s^2, onde a0=1 m / s^2. Qual a posição do corpo A para t=2 s(t> t1 )? Dê sua resposta em m.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A situação é a seguinte: temos um corpo A que começa no tempo $ t = 0 $ segundos com uma velocidade inicial de $ v_0 = 1 , m/s $ e uma posição inicial de $ x_0 = 1 , m $. De $ t = 0 $ até $ t = t_1 = 1 $ segundo, a aceleração dele é nula, ou seja, ele não acelera. A partir de $ t = 1 $ segundo, a aceleração passa a variar com o tempo segundo a fórmula $ a(t) = a_0 \left( \frac{t_1}{t} \right)^3 $, onde $ a_0 = 1 , m/s^2 $. Nosso objetivo é encontrar a posição do corpo A no instante $ t = 2 $ segundos.
Vamos precisar usar conceitos de cinemática, especificamente as relações entre posição, velocidade e aceleração. Vamos dividir a resolução em etapas para facilitar o entendimento.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o movimento do corpo A de $ t = 0 $ até $ t = 1 $ segundo. Nessa primeira fase, a aceleração é nula ($ a(t) = 0 $), o que significa que a velocidade do corpo permanece constante.
A velocidade inicial é $ v_0 = 1 , m/s $, então a velocidade para qualquer instante $ t $ nesse intervalo é:
t = 0
Para encontrar a posição nesse intervalo, usamos a fórmula da posição com velocidade constante:
t = 1
Substituindo os valores:
a(t) = 0
No instante $ t_1 = 1 $ segundo, a posição será:
v0 = 1 , m/s

Passo 3

Agora, vamos analisar o movimento do corpo A a partir de $ t = 1 $ segundo até $ t = 2 $ segundos, onde a aceleração passa a variar com o tempo segundo a fórmula:
t = 1
Para encontrar a velocidade nesse intervalo, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo:
t = 2
Sabemos que $ v(t_1) = 1 , m/s $, então:
a(t) = ( 1t )^3 = 1t^3 , m/s^2
Calculando a integral:
v(t) = v(t1) + integralt1^t a(s) , ds
Aplicando os limites de integração:
v(t1) = 1 , m/s
Portanto, a velocidade em $ t = 2 $ segundos será:
v(t) = 1 , m/s + integral1^t 1s^3 , ds

Passo 4

Agora que temos a expressão para a velocidade $ v(t) = \frac{3}{2} - \frac{1}{2t^2} $, vamos encontrar a posição no instante $ t = 2 $ segundos. Para isso, precisamos integrar a velocidade em relação ao tempo:
v(t) = 32 - 12t^2
Sabemos que $ x(t_1) = 2 , m $, então:
t = 2
Calculando a integral:
x(t) = x(t1) + integralt1^t v(s) , ds
x(t1) = 2 , m
Aplicando os limites de integração:
x(t) = 2 + integral1^t ( 32 - 12s^2 ) ds
Simplificando:
integral 32 , ds = 32 s

Resposta

No instante $ t = 2 $ segundos, a posição do corpo A é:
t = 2

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