Em
, um corpo A possui uma velocidade inicial
e posição inicial
. Entre
, sua aceleração é nula. A partir de
, sua aceleração é descrita por
, onde
. Qual a posição do corpo A para
)? Dê sua resposta em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A situação é a seguinte: temos um corpo A que começa no tempo $ t = 0 $ segundos com uma velocidade inicial de $ v_0 = 1 , m/s $ e uma posição inicial de $ x_0 = 1 , m $. De $ t = 0 $ até $ t = t_1 = 1 $ segundo, a aceleração dele é nula, ou seja, ele não acelera. A partir de $ t = 1 $ segundo, a aceleração passa a variar com o tempo segundo a fórmula $ a(t) = a_0 \left( \frac{t_1}{t} \right)^3 $, onde $ a_0 = 1 , m/s^2 $. Nosso objetivo é encontrar a posição do corpo A no instante $ t = 2 $ segundos.
Vamos precisar usar conceitos de cinemática, especificamente as relações entre posição, velocidade e aceleração. Vamos dividir a resolução em etapas para facilitar o entendimento.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o movimento do corpo A de $ t = 0 $ até $ t = 1 $ segundo. Nessa primeira fase, a aceleração é nula ($ a(t) = 0 $), o que significa que a velocidade do corpo permanece constante.
A velocidade inicial é $ v_0 = 1 , m/s $, então a velocidade para qualquer instante $ t $ nesse intervalo é:
Para encontrar a posição nesse intervalo, usamos a fórmula da posição com velocidade constante:
Substituindo os valores:
No instante $ t_1 = 1 $ segundo, a posição será:
Passo 3
Agora, vamos analisar o movimento do corpo A a partir de $ t = 1 $ segundo até $ t = 2 $ segundos, onde a aceleração passa a variar com o tempo segundo a fórmula:
Para encontrar a velocidade nesse intervalo, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo:
Sabemos que $ v(t_1) = 1 , m/s $, então:
Calculando a integral:
Aplicando os limites de integração:
Portanto, a velocidade em $ t = 2 $ segundos será:
Passo 4
Agora que temos a expressão para a velocidade $ v(t) = \frac{3}{2} - \frac{1}{2t^2} $, vamos encontrar a posição no instante $ t = 2 $ segundos. Para isso, precisamos integrar a velocidade em relação ao tempo:
Sabemos que $ x(t_1) = 2 , m $, então:
Calculando a integral:
Aplicando os limites de integração:
Simplificando:
Resposta
No instante $ t = 2 $ segundos, a posição do corpo A é: