Dados vetores
de
e
mostre que
(a)
;
(b)
;
©
;
(d)
;
(e)
;
(f)
;
(g)
;
(h)
;
(i)
. (Desigualdade de Cauchy-Schwarz).
(j)
. (Desigualdade triangular).
(k) Se
então
.
(l)
se e só se
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k) Se
(l)
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar várias propriedades do produto escalar e da norma em
, incluindo distributividade, comutatividade, homogeneidade, positividade, desigualdades de Cauchy-Schwarz e triangular e condições de igualdade. Vamos usar a definição componente a componente do produto escalar e operações algébricas básicas.
Passo 2
Definimos vetores em coordenadas e o produto escalar. Seja
O produto escalar é definido por
Passo 3
Mostramos a distributividade em cada coordenada. Para (a):
Analogamente, para (b):
Passo 4
Para ©, a comutatividade vem da comutatividade do produto real em cada termo:
Passo 5
Para (d), a homogeneidade em cada coordenada:
Passo 6
Para (e), note que cada termo
é não-negativo, logo
Para (f), temos
se e somente se cada
, isto é,
para todo
, logo
Passo 7
Usando distributividade de novo, obtemos a expansão dos quadrados:
Para (g):
Para (g):
Para (h):
Passo 8
Para (i), desigualdade de Cauchy-Schwarz: considere o polinômio em
O discriminante deve ser não-positivo:
que dá
e portanto
Passo 9
Para (j), desigualdade triangular: use
Tomando raiz positiva, concluímos
Passo 10
Para (k), se
, então da expansão de (g) segue
Passo 11
Para (l), observamos
Logo
se e somente se
, isto é,
Resposta
Todas as propriedades (a) a (l) foram demonstradas.