Dados vetores u, v, w de R^n e lambda in R mostre que
(a) (u+v) cdot w=u cdot w+v cdot w;
(b) u cdot(v+w)=u cdot v+u cdot w;
© u cdot v=v cdot u;
(d) (lambda u) cdot v=lambda(u cdot v)=u cdot(lambda v);
(e) u cdot u >= 0;
(f) u cdot u=0 Leftrightarrow u=0R^n;
(g) (u+v) cdot(u+v)=u cdot u+2(u cdot v)+v cdot v;
(h) (u-v) cdot(u-v)=u cdot u-2(u cdot v)+v cdot v;
(i) |u cdot v| <=|u||v|. (Desigualdade de Cauchy-Schwarz).
(j) |u+v| <=|u|+|v|. (Desigualdade triangular).
(k) Se u cdot v=0 então |u+v|^2=|u|^2+|v|^2.
(l) |u-v|=|u+v| se e só se u cdot v=0.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar várias propriedades do produto escalar e da norma em R^n, incluindo distributividade, comutatividade, homogeneidade, positividade, desigualdades de Cauchy-Schwarz e triangular e condições de igualdade. Vamos usar a definição componente a componente do produto escalar e operações algébricas básicas.

Passo 2

Definimos vetores em coordenadas e o produto escalar. Seja
u=(u1,ldots,un), v=(v1,ldots,vn), w=(w1,ldots,wn)
O produto escalar é definido por
ucdot v=sumi=1^n ui vi

Passo 3

Mostramos a distributividade em cada coordenada. Para (a):
(u+v)cdot w=sumi=1^n(ui+vi)wi=sumi=1^n uiwi+sumi=1^n viwi=ucdot w+vcdot w
Analogamente, para (b):
ucdot(v+w)=sumi=1^n ui(vi+wi)=ucdot v+ucdot w

Passo 4

Para ©, a comutatividade vem da comutatividade do produto real em cada termo:
ucdot v=sumi=1^n ui vi=sumi=1^n vi ui=vcdot u

Passo 5

Para (d), a homogeneidade em cada coordenada:
(lambda u)cdot v=sumi=1^n(lambda ui)vi=lambdasumi=1^n ui vi=lambda(ucdot v),
ucdot(lambda v)=sumi=1^n ui(lambda vi)=lambda(ucdot v)

Passo 6

Para (e), note que cada termo ui^2 é não-negativo, logo
ucdot u=sumi=1^n ui^2>=0
Para (f), temos nucdot u=0 se e somente se cada ui^2=0, isto é, ui=0 para todo i, logo u=0R^n

Passo 7

Usando distributividade de novo, obtemos a expansão dos quadrados:
Para (g):
(u+v)cdot(u+v)=ucdot u+2(ucdot v)+vcdot v
Para (h):
(u-v)cdot(u-v)=ucdot u-2(ucdot v)+vcdot v

Passo 8

Para (i), desigualdade de Cauchy-Schwarz: considere o polinômio em t
f(t)=|(u-tv)|^2=(u-tv)cdot(u-tv)=ucdot u-2t(ucdot v)+t^2(vcdot v)>=0forall tinR
O discriminante deve ser não-positivo:
De
que dá
(ucdot v)^2<=(ucdot u)(vcdot v)
e portanto
|ucdot v|<=|u|,|v|

Passo 9

Para (j), desigualdade triangular: use
|u+v|^2=(u+v)cdot(u+v)=|u|^2+2(ucdot v)+|v|^2<=|u|^2+2|u||v|+|v|^2=(|u|+|v|)^2
Tomando raiz positiva, concluímos
|u+v|<=|u|+|v|

Passo 10

Para (k), se ucdot v=0, então da expansão de (g) segue
|u+v|^2=|u|^2+2(ucdot v)+|v|^2=|u|^2+|v|^2

Passo 11

Para (l), observamos
|u-v|^2=|u|^2-2(ucdot v)+|v|^2,
|u+v|^2=|u|^2+2(ucdot v)+|v|^2
Logo |u-v|=|u+v| se e somente se 2(ucdot v)= -2(ucdot v), isto é, ucdot v=0

Resposta

Todas as propriedades (a) a (l) foram demonstradas.

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