Dados os vetores \mathbf{M}=-10 \mathbf{a}_{x}+4 \mathbf{a}_{y}-8 \mathbf{a}_{z} e \mathbf{N}=8 \mathbf{a}_{x}+7 \mathbf{a}_{y}-2 \mathbf{a}_{z}, encontre:
(b) a intensidade de 5 \mathbf{a}_{x}+\mathbf{N}-\mathbf{3} \mathbf{M};

Passo 1

O enunciado dá os vetores e pede a intensidade (magnitude) do vetor 5\mathbf{a}_{x}+\mathbf{N}-\mathbf{3}\mathbf{M}.
Vetores fornecidos:
\mathbf{M} = -10\,\mathbf{a}_{x}+4\,\mathbf{a}_{y}-8\,\mathbf{a}_{z}
\mathbf{N} = 8\,\mathbf{a}_{x}+7\,\mathbf{a}_{y}-2\,\mathbf{a}_{z}
O que precisamos encontrar: a intensidade (norma) do vetor
\mathbf{R}=5\mathbf{a}_{x}+\mathbf{N}-3\mathbf{M}.

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (bem passo a passo):
  • Multiplicação escalar: multiplicar um escalar por um vetor significa multiplicar cada componente do vetor por esse escalar. Ou seja, se \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) então k\mathbf{v}=(kv_x,kv_y,kv_z).
  • Soma/subtração de vetores: faz-se componente a componente. Se \mathbf{u}=(u_x,u_y,u_z) e \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) então \mathbf{u}+\mathbf{v}=(u_x+v_x,u_y+v_y,u_z+v_z).
  • Intensidade (norma) de um vetor \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) é dada por
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}+v_z^{2}}.
Vamos aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Calcular -3\mathbf{M} (é a mesma coisa que multiplicar \mathbf{M} por -3):
\mathbf{M}=(-10,\,4,\,-8) \quad\Rightarrow\quad -3\mathbf{M}=(-3)(-10,\,4,\,-8).
Multiplicando componente a componente:
-3\mathbf{M}=(30,\,-12,\,24).

Passo 4

Escrever cada termo como tripla de componentes e somar:
5\mathbf{a}_{x}=(5,\,0,\,0), \qquad \mathbf{N}=(8,\,7,\,-2), \qquad -3\mathbf{M}=(30,\,-12,\,24).
Agora somamos componente a componente:
\mathbf{R}= (5+8+30,\; 0+7-12,\; 0-2+24).
Fazendo as contas:
\mathbf{R}=(43,\,-5,\,22).

Passo 5

Agora calculamos a intensidade de \mathbf{R}=(43,-5,22) usando a fórmula da norma:
\|\mathbf{R}\|=\sqrt{43^{2}+(-5)^{2}+22^{2}}.
Calcular os quadrados:
43^{2}=1849,\qquad (-5)^{2}=25,\qquad 22^{2}=484.
Somando:
1849+25+484=2358.
Logo
\|\mathbf{R}\|=\sqrt{2358}.

Passo 6

Simplificar a raiz quadrada, extraindo quadrados perfeitos:
2358=9\cdot262,
portanto
\sqrt{2358}=\sqrt{9\cdot262}=3\sqrt{262}.
Aproximação decimal (útil para conferir):
3\sqrt{262}\approx48{,}56.

Resposta

\;3\sqrt{262}\approx48{,}56

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