Exercício 2.16:

Determine a, b, r \in \mathbb{Z} tais que 234=15 \times(a 10+b)+r e 0 \leq r e r<15. Além disso, utilizando os axiomas determine: 35 \times 17, 37+19 e 37+(-19).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas distintas. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede.
  • Dado: a igualdade inteira
234 = 15 \times (a\,10 + b) + r
com a,b,r \in \mathbb{Z} e a condição sobre o resto
0 \le r < 15.
  • Pedidos:
    1. Determinar os inteiros a, b e r que satisfazem a igualdade e a desigualdade acima.
    2. Utilizando os axiomas (propriedades usuais de adição e multiplicação), calcular:
      • 35 \times 17,
      • 37 + 19,
      • 37 + (-19).
Nada mais será assumido; seguem os cálculos detalhados e justificados passo a passo.

Passo 2

Primeiro resolvemos a parte da divisão (ou seja, encontrar o quociente e o resto). Vou usar o lema conhecido como algoritmo da divisão: para inteiros m e n>0 existe um único par de inteiros (q,r) tal que
m = n q + r\quad\text{e}\quad 0 \le r < n.
Aqui m=234 e n=15. Então existe um quociente inteiro q tal que 234 = 15q + r com 0\le r<15. No enunciado o quociente foi escrito na forma q = a\,10 + b.
Para encontrar q de forma elementar, comparo múltiplos de 15. Calculo alguns múltiplos fáceis:
15\times 10 = 150,
15\times 15 = 15\times(10+5)=150+75=225,
15\times 16 = 15\times 15 + 15 = 225 + 15 = 240.
Vendo que 225 \le 234 < 240, concluímos que o maior múltiplo de 15 menor ou igual a 234 é 225, que corresponde a 15\times 15. Logo o quociente q é 15 e o resto r é
r = 234 - 15\times 15 = 234 - 225 = 9.
Verifico a condição do resto: 0 \le 9 < 15 é verdadeira.

Passo 3

Agora traduzimos q=15 para a forma pedida q=a\,10 + b. Igualando,
a\,10 + b = 15.
Como 15 é o número decimal com algarismos 1 e 5, uma escolha óbvia (e inteira) é a=1 e b=5. Não há contradição com o enunciado (que só exige a,b\in\mathbb{Z}). Assim obtemos
a=1,\qquad b=5,\qquad r=9.

Passo 4

Agora calculamos 35\times 17 explicando pelas propriedades (axiomas) usuais: usarei a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição e a associatividade/ comutatividade quando necessário.
Escrevo 17 como soma de 10 e 7:
35\times 17 = 35\times (10+7).
Pela distributividade,
35\times(10+7) = 35\times 10 + 35\times 7.
Calculo cada termo separadamente. Para 35\times 10 uso a noção (resultante de adição repetida) de que multiplicar por 10 equivale a somar dez cópias de 35:
35\times 10 = 350.
Para 35\times 7 uso novamente distributividade subdividindo 35 em 30+5:
35\times 7 = (30+5)\times 7 = 30\times 7 + 5\times 7.
Calculando os produtos simples por repetição ou tabelas conhecidas:
30\times 7 = 210,\qquad 5\times 7 = 35,
portanto
35\times 7 = 210 + 35 = 245.
Somando os dois termos:
35\times 17 = 350 + 245 = 595.

Passo 5

Agora calculo 37+19 usando propriedades da adição (associatividade e comutatividade) e decompõe-se 19.
Escrevo 19 = 10 + 9. Então
37 + 19 = 37 + (10 + 9).
Pela associatividade:
37 + (10 + 9) = (37 + 10) + 9 = 47 + 9 = 56.
Logo 37+19=56.

Passo 6

Por fim calculo 37 + (-19). Aqui uso o axioma da existência do inverso aditivo: para cada inteiro z existe -z tal que z + (-z) = 0. Também uso que -(x+y)= -x + (-y).
Como antes, escrevo 19 = 10 + 9. Então
-19 = -(10+9) = -10 + (-9).
Assim
37 + (-19) = 37 + (-10) + (-9).
Aplicando adição passo a passo:
37 + (-10) = 27,
27 + (-9) = 18.
Portanto 37 + (-19) = 18. (Alternativamente, pensar em 37+(-19) como 37-19 e subtrair 20-1 também dá 18; aqui mostramos em termos de inversos aditivos.)

Resposta

a=1,\\ b=5,\\ r=9
35\times17=595
37+19=56
37+(-19)=18

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