Exercício 2.16:
Determine
tais que
e
e
. Além disso, utilizando os axiomas determine:
,
e
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas distintas. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede.
- Dado: a igualdade inteira
com
e a condição sobre o resto
- Pedidos:
- Determinar os inteiros
, e que satisfazem a igualdade e a desigualdade acima. - Utilizando os axiomas (propriedades usuais de adição e multiplicação), calcular:
-
, -
, -
.
-
- Determinar os inteiros
Nada mais será assumido; seguem os cálculos detalhados e justificados passo a passo.
Passo 2
Primeiro resolvemos a parte da divisão (ou seja, encontrar o quociente e o resto). Vou usar o lema conhecido como algoritmo da divisão: para inteiros
e
existe um único par de inteiros
tal que
Aqui
e
. Então existe um quociente inteiro
tal que
com
. No enunciado o quociente foi escrito na forma
.
Para encontrar
de forma elementar, comparo múltiplos de
. Calculo alguns múltiplos fáceis:
Vendo que
, concluímos que o maior múltiplo de
menor ou igual a
é
, que corresponde a
. Logo o quociente
é
e o resto
é
Verifico a condição do resto:
é verdadeira.
Passo 3
Agora traduzimos
para a forma pedida
. Igualando,
Como
é o número decimal com algarismos
e
, uma escolha óbvia (e inteira) é
e
. Não há contradição com o enunciado (que só exige
). Assim obtemos
Passo 4
Agora calculamos
explicando pelas propriedades (axiomas) usuais: usarei a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição e a associatividade/ comutatividade quando necessário.
Escrevo
como soma de
e
:
Pela distributividade,
Calculo cada termo separadamente. Para
uso a noção (resultante de adição repetida) de que multiplicar por
equivale a somar dez cópias de
:
Para
uso novamente distributividade subdividindo
em
:
Calculando os produtos simples por repetição ou tabelas conhecidas:
portanto
Somando os dois termos:
Passo 5
Agora calculo
usando propriedades da adição (associatividade e comutatividade) e decompõe-se
.
Escrevo
. Então
Pela associatividade:
Logo
.
Passo 6
Por fim calculo
. Aqui uso o axioma da existência do inverso aditivo: para cada inteiro
existe
tal que
. Também uso que
.
Como antes, escrevo
. Então
Assim
Aplicando adição passo a passo:
Portanto
. (Alternativamente, pensar em
como
e subtrair
também dá
; aqui mostramos em termos de inversos aditivos.)