Questão 3 Para quais das seguintes séries o Teste da Razão não é conclusivo (isto é, ele não dá uma resposta definida)?
(a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}
(b) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}}
(c) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n-1}}{\sqrt{n}}
(d) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{1+n^{2}}
Passo 1
O enunciado pergunta: para quais das séries abaixo o Teste da Razão (de d’Alembert) é inconclusivo (ou seja, o teste dá um valor-limite igual a 1)?
Informações úteis dadas: cada termo geral está explícito; o que se pede é aplicar o Teste da Razão a cada série e verificar quando o limite L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| vale 1 (caso em que o teste é inconclusivo).
Passo 2
O que é o Teste da Razão (resumo e como usá-lo na prova):
Seja \sum a_n uma série com termos não nulos. Defina
Se L<1, a série converge absolutamente (logo converge).
Se L>1, a série diverge.
Se L=1, o teste é inconclusivo: não se pode concluir nem convergência nem divergência usando só este teste; é preciso outro teste (p.ex. comparação, série p, teste da raiz, etc.).
Explicação rápida do motivo: o teste compara o comportamento assintótico com uma razão geométrica; limites menores que 1 significam decaimento geométrico suficiente para convergência, maiores que 1 significam crescimento geométrico e divergência; limite 1 é o caso fronteira.
Agora vamos aplicar esse procedimento em cada série: calcular \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|, tirar o limite quando n\to\infty e interpretar.
Logo o Teste da Razão produz L=1 para (a), portanto é inconclusivo aqui.
Breve nota didática: apesar de o Teste da Razão ser inconclusivo, há outro teste simples que resolve (a): a série \sum 1/n^{3} é uma série p com p=3>1, então converge. Isso é só para você saber o que fazer depois que o teste da razão falhar.
Aqui L=\tfrac{1}{2}<1. Pelo Teste da Razão concluímos que a série (b) converge absolutamente (e portanto converge). O teste é conclusivo neste caso.
Comentário prático: séries com termo do tipo polinomial dividido por exponencial (como n/2^n) costumam convergir porque a exponencial vence o polinômio.
Passo 5
Série (c): \displaystyle a_n=\frac{(-3)^{\,n-1}}{\sqrt{n}}.
Primeiro, o Teste da Razão usa valores absolutos, então considere |a_n|=\dfrac{3^{\,n-1}}{\sqrt{n}}.
Aqui L=3>1. Pelo Teste da Razão a série (c) diverge (porque os módulos crescem geometricamente com razão >1). O teste é conclusivo e indica divergência.
Observação intuitiva: o fator 3^{n-1} domina o denominador \sqrt{n}, então os termos não vão a zero suficientemente rápido — de fato, em valor absoluto eles crescem geometricamente.
Passo 6
Série (d): \displaystyle a_n=\frac{\sqrt{n}}{1+n^{2}}.