Questão 3 Para quais das seguintes séries o Teste da Razão não é conclusivo (isto é, ele não dá uma resposta definida)?
(a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}
(b) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}}
(c) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n-1}}{\sqrt{n}}
(d) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{1+n^{2}}

Passo 1

O enunciado pergunta: para quais das séries abaixo o Teste da Razão (de d’Alembert) é inconclusivo (ou seja, o teste dá um valor-limite igual a 1)?
As séries fornecidas são:
(a) \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}
(b) \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n}}
(c) \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-3)^{n-1}}{\sqrt{n}}
(d) \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n}}{1+n^{2}}
Informações úteis dadas: cada termo geral está explícito; o que se pede é aplicar o Teste da Razão a cada série e verificar quando o limite L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| vale 1 (caso em que o teste é inconclusivo).

Passo 2

O que é o Teste da Razão (resumo e como usá-lo na prova):
  • Seja \sum a_n uma série com termos não nulos. Defina
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
  • Se L<1, a série converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo: não se pode concluir nem convergência nem divergência usando só este teste; é preciso outro teste (p.ex. comparação, série p, teste da raiz, etc.).
Explicação rápida do motivo: o teste compara o comportamento assintótico com uma razão geométrica; limites menores que 1 significam decaimento geométrico suficiente para convergência, maiores que 1 significam crescimento geométrico e divergência; limite 1 é o caso fronteira.
Agora vamos aplicar esse procedimento em cada série: calcular \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|, tirar o limite quando n\to\infty e interpretar.

Passo 3

Série (a): \displaystyle a_n=\frac{1}{n^{3}}.
Calcular a razão:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{1/(n+1)^{3}}{1/n^{3}} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^{3}.
Tomando limite:
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{3} = \left(\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}\right)^{3} = 1^{3}=1.
Logo o Teste da Razão produz L=1 para (a), portanto é inconclusivo aqui.
Breve nota didática: apesar de o Teste da Razão ser inconclusivo, há outro teste simples que resolve (a): a série \sum 1/n^{3} é uma série p com p=3>1, então converge. Isso é só para você saber o que fazer depois que o teste da razão falhar.

Passo 4

Série (b): \displaystyle a_n=\frac{n}{2^{n}}.
Calcular a razão:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{(n+1)/2^{\,n+1}}{n/2^{\,n}} = \frac{n+1}{n}\cdot\frac{1}{2} = \left(1+\frac{1}{n}\right)\frac{1}{2}.
Tomando limite:
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)\frac{1}{2} = \frac{1}{2}.
Aqui L=\tfrac{1}{2}<1. Pelo Teste da Razão concluímos que a série (b) converge absolutamente (e portanto converge). O teste é conclusivo neste caso.
Comentário prático: séries com termo do tipo polinomial dividido por exponencial (como n/2^n) costumam convergir porque a exponencial vence o polinômio.

Passo 5

Série (c): \displaystyle a_n=\frac{(-3)^{\,n-1}}{\sqrt{n}}.
Primeiro, o Teste da Razão usa valores absolutos, então considere |a_n|=\dfrac{3^{\,n-1}}{\sqrt{n}}.
Calcular a razão:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{3^{\,n}/\sqrt{n+1}}{3^{\,n-1}/\sqrt{n}} = 3\cdot\sqrt{\frac{n}{\,n+1\,}}.
Tomando limite:
\lim_{n\to\infty}3\cdot\sqrt{\frac{n}{n+1}} =3\cdot 1=3.
Aqui L=3>1. Pelo Teste da Razão a série (c) diverge (porque os módulos crescem geometricamente com razão >1). O teste é conclusivo e indica divergência.
Observação intuitiva: o fator 3^{n-1} domina o denominador \sqrt{n}, então os termos não vão a zero suficientemente rápido — de fato, em valor absoluto eles crescem geometricamente.

Passo 6

Série (d): \displaystyle a_n=\frac{\sqrt{n}}{1+n^{2}}.
Calcular a razão:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{\sqrt{n+1}/\bigl(1+(n+1)^{2}\bigr)}{\sqrt{n}/\bigl(1+n^{2}\bigr)} = \sqrt{\frac{n+1}{n}}\cdot\frac{1+n^{2}}{1+(n+1)^{2}}.
Agora analisamos os dois fatores separadamente quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{n+1}{n}}=1, \qquad \lim_{n\to\infty}\frac{1+n^{2}}{1+(n+1)^{2}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}(1+1/n^{2})}{n^{2}(1+2/n+1/n^{2})} =\frac{1}{1+0}=1.
Multiplicando,
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1\cdot 1=1.
Portanto o Teste da Razão dá L=1 para (d); o teste é inconclusivo aqui também.
O que fazer depois (dica prática): use comparação assintótica. Para n grande, 1+n^{2}\sim n^{2}, então
a_n=\frac{\sqrt{n}}{1+n^{2}}\sim\frac{\sqrt{n}}{n^{2}}=\frac{1}{n^{3/2}}.
A série \sum 1/n^{3/2} é uma série p com p=\tfrac{3}{2}>1, que converge. Pode-se formalizar por limite de comparação:
\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}/(1+n^{2})}{1/n^{3/2}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{1+n^{2}}=1,
logo \sum a_n converge. Mas isso já é outro teste — o Teste da Razão foi inconclusivo.

Resposta

(a) e (d)

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