14 Demonstre que os vetores
formam os lados de um triângulo reto.
Passo 1
O enunciado dá três vetores e pede para demonstrar que eles formam os lados de um triângulo reto. Os dados fornecidos são:
A pergunta é: mostrar que esses vetores podem ser as arestas de um triângulo e que esse triângulo é reto (ou seja, tem um ângulo de
).
Passo 2
Primeiro vou verificar a relação de soma entre os vetores, fazendo a soma componente a componente. Somando
e
:
Calculando as somas das componentes:
Comparando com
, vemos que
Explicação geométrica curta (didática): se três vetores
satisfazem
, então eles podem ser colocados cabeça-a-cauda formando um triângulo. Aqui temos
, ou seja,
. Logo, os vetores
e
fecham um triângulo; equivalentemente,
representam os três lados (com orientações apropriadas) desse triângulo.
Passo 3
Para mostrar que o triângulo é reto, basta mostrar que dois lados adjacentes são perpendiculares. Dois vetores são perpendiculares se, e somente se, o produto escalar entre eles for zero. Vou lembrar a definição do produto escalar: para
e
,
Agora calculo o produto escalar
. Usando as componentes de
e
:
Calculando termo a termo:
Como
, os vetores
e
são perpendiculares. Isso significa que, no triângulo formado por
, o ângulo entre
e
é de
.
Passo 4
Uma verificação adicional — para consolidar a ideia de hipotenusa — é checar a relação de Pitágoras entre os comprimentos (normas) dos vetores. A norma ao quadrado de um vetor
é
Calculo
,
e
:
Somando
obtemos
, que é exatamente
. Portanto
o que confirma que
tem comprimento igual à hipotenusa do triângulo cujos catetos são
e
.
Passo 5
Conclusão clara e geométrica: como
(logo os vetores fecham um triângulo quando orientados adequadamente) e
(logo
e
são perpendiculares), os vetores dados formam os lados de um triângulo reto — com
e
como catetos e
como hipotenusa.
Resposta
Sim. Formam um triângulo reto, pois
e
(logo
).