14 Demonstre que os vetores
\begin{aligned} & \mathbf{A}=2 \mathbf{i}-\mathbf{j}+\mathbf{k} \\\ & \mathbf{B}=\mathbf{i}-3 \mathbf{j}-5 \mathbf{k} \\\ & \mathbf{C}=3 \mathbf{i}-4 \mathbf{j}-4 \mathbf{k} \end{aligned}
formam os lados de um triângulo reto.

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede para demonstrar que eles formam os lados de um triângulo reto. Os dados fornecidos são:
\mathbf{A}=2\mathbf{i}-\mathbf{j}+\mathbf{k}, \qquad \mathbf{B}=\mathbf{i}-3\mathbf{j}-5\mathbf{k}, \qquad \mathbf{C}=3\mathbf{i}-4\mathbf{j}-4\mathbf{k}.
A pergunta é: mostrar que esses vetores podem ser as arestas de um triângulo e que esse triângulo é reto (ou seja, tem um ângulo de 90^\circ).

Passo 2

Primeiro vou verificar a relação de soma entre os vetores, fazendo a soma componente a componente. Somando \mathbf{A} e \mathbf{B}:
\mathbf{A}+\mathbf{B}=(2+1)\mathbf{i}+(-1-3)\mathbf{j}+(1-5)\mathbf{k}.
Calculando as somas das componentes:
\mathbf{A}+\mathbf{B}=3\mathbf{i}-4\mathbf{j}-4\mathbf{k}.
Comparando com \mathbf{C}, vemos que
\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{C}.
Explicação geométrica curta (didática): se três vetores \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} satisfazem \mathbf{u}+\mathbf{v}+\mathbf{w}=\mathbf{0}, então eles podem ser colocados cabeça-a-cauda formando um triângulo. Aqui temos \mathbf{A}+\mathbf{B}-\mathbf{C}=\mathbf{0}, ou seja, \mathbf{A}+\mathbf{B}+(-\mathbf{C})=\mathbf{0}. Logo, os vetores \mathbf{A},\mathbf{B} e -\mathbf{C} fecham um triângulo; equivalentemente, \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} representam os três lados (com orientações apropriadas) desse triângulo.

Passo 3

Para mostrar que o triângulo é reto, basta mostrar que dois lados adjacentes são perpendiculares. Dois vetores são perpendiculares se, e somente se, o produto escalar entre eles for zero. Vou lembrar a definição do produto escalar: para \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3),
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Agora calculo o produto escalar \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}. Usando as componentes de \mathbf{A} e \mathbf{B}:
\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=2\cdot1+(-1)\cdot(-3)+1\cdot(-5).
Calculando termo a termo:
\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=2+3-5=0.
Como \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=0, os vetores \mathbf{A} e \mathbf{B} são perpendiculares. Isso significa que, no triângulo formado por \mathbf{A},\mathbf{B},-\mathbf{C}, o ângulo entre \mathbf{A} e \mathbf{B} é de 90^\circ.

Passo 4

Uma verificação adicional — para consolidar a ideia de hipotenusa — é checar a relação de Pitágoras entre os comprimentos (normas) dos vetores. A norma ao quadrado de um vetor \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) é
\|\mathbf{u}\|^2=u_1^2+u_2^2+u_3^2.
Calculo \|\mathbf{A}\|^2, \|\mathbf{B}\|^2 e \|\mathbf{C}\|^2:
\|\mathbf{A}\|^2=2^2+(-1)^2+1^2=4+1+1=6,
\|\mathbf{B}\|^2=1^2+(-3)^2+(-5)^2=1+9+25=35,
\|\mathbf{C}\|^2=3^2+(-4)^2+(-4)^2=9+16+16=41.
Somando \|\mathbf{A}\|^2+\|\mathbf{B}\|^2 obtemos 6+35=41, que é exatamente \|\mathbf{C}\|^2. Portanto
\|\mathbf{C}\|^2=\|\mathbf{A}\|^2+\|\mathbf{B}\|^2,
o que confirma que \mathbf{C} tem comprimento igual à hipotenusa do triângulo cujos catetos são \mathbf{A} e \mathbf{B}.

Passo 5

Conclusão clara e geométrica: como \mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{C} (logo os vetores fecham um triângulo quando orientados adequadamente) e \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=0 (logo \mathbf{A} e \mathbf{B} são perpendiculares), os vetores dados formam os lados de um triângulo reto — com \mathbf{A} e \mathbf{B} como catetos e \mathbf{C} como hipotenusa.

Resposta

Sim. Formam um triângulo reto, pois \mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{C} e \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=0 (logo \|\mathbf{C}\|^{2}=\|\mathbf{A}\|^{2}+\|\mathbf{B}\|^{2}).

Exercícios relacionados