Dados os vetores
\mathbf{A}=5 \mathbf{i}+7 \mathbf{j} ; \mathbf{B}=\mathbf{i}+2 \mathbf{j} ; \mathbf{C}=-4 \mathbf{i}-4 \mathbf{j}. Determine a magnitude e direção de:
4 \mathbf{B}-\mathbf{C}.

Passo 1

O enunciado dá três vetores no plano e pede a magnitude e a direção de 4\mathbf{B}-\mathbf{C}. Informações relevantes fornecidas:
\mathbf{A}=5\mathbf{i}+7\mathbf{j},\qquad \mathbf{B}=\mathbf{i}+2\mathbf{j},\qquad \mathbf{C}=-4\mathbf{i}-4\mathbf{j}.
Perguntas claras:
  1. Qual é a magnitude (norma) de 4\mathbf{B}-\mathbf{C}?
  2. Qual é a direção de 4\mathbf{B}-\mathbf{C} (ângulo em relação ao eixo positivo x)?

Passo 2

Primeiro calculemos 4\mathbf{B}. Multiplicar um vetor por escalar significa multiplicar cada componente pelo escalar. Assim, para \mathbf{B}=\mathbf{i}+2\mathbf{j}:
4\mathbf{B}=4(\mathbf{i}+2\mathbf{j})=4\mathbf{i}+8\mathbf{j}.
Escrevendo em componentes: 4\mathbf{B}=(4,8).

Passo 3

Agora calculemos 4\mathbf{B}-\mathbf{C}. Subtrair vetores é fazer a operação componente a componente. Como \mathbf{C}=(-4,-4), temos:
4\mathbf{B}-\mathbf{C}=(4,8)-(-4,-4)=(4-(-4),\,8-(-4))=(8,12).
Portanto o vetor pedido é (8,12). (Uma observação útil: esse vetor é proporcional a (2,3), pois (8,12)=4(2,3).)

Passo 4

Agora precisamos da magnitude (norma) de um vetor. Teoria rápida e prática: para um vetor (x,y) no plano, a magnitude \|\cdot\| é dada por
\|\,(x,y)\,\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Isto vem do teorema de Pitágoras: a magnitude é a hipotenusa do triângulo retângulo com catetos x e y.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao nosso vetor (8,12):
\| (8,12)\|=\sqrt{8^{2}+12^{2}}=\sqrt{64+144}=\sqrt{208}.
Podemos simplificar \sqrt{208}. Note que 208=16\cdot 13, logo
\sqrt{208}=\sqrt{16\cdot 13}=4\sqrt{13}.
Também é útil ter uma aproximação decimal para provas: \sqrt{13}\approx 3,6055, então
4\sqrt{13}\approx 4\cdot 3,6055\approx 14,422.

Passo 6

Agora a direção. Para um vetor (x,y) com x>0, a direção medida como ângulo \theta a partir do eixo positivo x é dada por
\tan\theta=\frac{y}{x}
e então \theta=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right). É importante verificar o sinal de x e y para saber em qual quadrante o ângulo está; aqui ambos são positivos, então estamos no primeiro quadrante e a fórmula direta com \arctan dá o ângulo correto.

Passo 7

Aplicando ao vetor (8,12):
\tan\theta=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}=1,5,
então
\theta=\arctan\!\left(\tfrac{3}{2}\right).
Em graus, usando a aproximação conhecida para \arctan(1,5),
\theta\approx 56,31^\circ.
(Se preferir em radianos, \theta\approx 0,9835 rad.)

Resposta

\text{Magnitude}=4\sqrt{13}\approx 14,42
\text{Direção}=\arctan\!\left(\tfrac{3}{2}\right)\approx 56,31^\circçã

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