Dados os vetores
. Determine a magnitude e direção de:
.
Passo 1
O enunciado dá três vetores no plano e pede a magnitude e a direção de
. Informações relevantes fornecidas:
Perguntas claras:
- Qual é a magnitude (norma) de
? - Qual é a direção de
(ângulo em relação ao eixo positivo )?
Passo 2
Primeiro calculemos
. Multiplicar um vetor por escalar significa multiplicar cada componente pelo escalar. Assim, para
:
Escrevendo em componentes:
.
Passo 3
Agora calculemos
. Subtrair vetores é fazer a operação componente a componente. Como
, temos:
Portanto o vetor pedido é
. (Uma observação útil: esse vetor é proporcional a
, pois
.)
Passo 4
Agora precisamos da magnitude (norma) de um vetor. Teoria rápida e prática: para um vetor
no plano, a magnitude
é dada por
Isto vem do teorema de Pitágoras: a magnitude é a hipotenusa do triângulo retângulo com catetos
e
.
Passo 5
Aplicando a fórmula ao nosso vetor
:
Podemos simplificar
. Note que
, logo
Também é útil ter uma aproximação decimal para provas:
, então
Passo 6
Agora a direção. Para um vetor
com
, a direção medida como ângulo
a partir do eixo positivo
é dada por
e então
. É importante verificar o sinal de
e
para saber em qual quadrante o ângulo está; aqui ambos são positivos, então estamos no primeiro quadrante e a fórmula direta com
dá o ângulo correto.
Passo 7
Aplicando ao vetor
:
então
Em graus, usando a aproximação conhecida para
,
(Se preferir em radianos,
rad.)