Três vetores (\mathbf{A}, \mathbf{B}) e \mathbf{C}, com 5 unidades cada um, estão respectivamente inclina operatorname{dos}: 60^{\circ}, 180^{\circ} e 300^{\circ}. Determine:
\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}.

Passo 1

O enunciado dá três vetores \mathbf{A}, \mathbf{B} e \mathbf{C}. As informações relevantes que vou usar são:
|\mathbf{A}|=5,\quad |\mathbf{B}|=5,\quad |\mathbf{C}|=5
e as inclinações (ângulos de direção medidos a partir do eixo x positivo) são
\text{direção de }\mathbf{A}=60^\circ,\qquad \text{direção de }\mathbf{B}=180^\circ,\qquad \text{direção de }\mathbf{C}=300^\circ.çãçãçã
A pergunta é: determine \mathbf{A}\cdot\mathbf{C}.

Passo 2

Vou lembrar a fórmula básica do produto escalar entre dois vetores em função dos módulos e do ângulo entre eles. A fórmula é
\mathbf{U}\cdot\mathbf{V}=|\mathbf{U}||\mathbf{V}|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{U} e \mathbf{V}. Aqui isso significa
\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}=|\mathbf{A}||\mathbf{C}|\cos\theta_{AC}.
O ângulo entre \mathbf{A} e \mathbf{C} pode ser obtido pela diferença de suas direções:
\theta_{AC}=300^\circ-60^\circ=240^\circ.
Observação útil: como \cos(\alpha)=\cos(-\alpha) e \cos(240^\circ)=\cos(240^\circ-360^\circ)=\cos(-120^\circ)=\cos(120^\circ) com sinal apropriado — mais direto é usar uma identidade de soma:
\cos(240^\circ)=\cos(180^\circ+60^\circ)=-\cos(60^\circ).
Sabendo que \cos(60^\circ)=\tfrac{1}{2}, temos
\cos(240^\circ)=-\tfrac{1}{2}.
Agora substituo na fórmula do produto escalar:
\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}=5\cdot 5\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)=25\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)=-\tfrac{25}{2}.

Passo 3

Para consolidar o entendimento, faço o cálculo pelo método das componentes (é outra forma comum na prova). A componente x e y de um vetor de módulo r e direção \varphi são r\cos\varphi e r\sin\varphi. Então:
\mathbf{A}=\bigl(5\cos60^\circ,\;5\sin60^\circ\bigr)=\Bigl(\tfrac{5}{2},\;\tfrac{5\sqrt{3}}{2}\Bigr),
\mathbf{C}=\bigl(5\cos300^\circ,\;5\sin300^\circ\bigr)=\Bigl(5\cos60^\circ,\;5\sin(-60^\circ)\Bigr)=\Bigl(\tfrac{5}{2},\;-\tfrac{5\sqrt{3}}{2}\Bigr).
O produto escalar por componentes é
\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}=A_xC_x+A_yC_y
ou seja
\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}=\tfrac{5}{2}\cdot\tfrac{5}{2}+\tfrac{5\sqrt{3}}{2}\cdot\left(-\tfrac{5\sqrt{3}}{2}\right) =\tfrac{25}{4}-\tfrac{25\cdot 3}{4}=\tfrac{25-75}{4}=-\tfrac{50}{4}=-\tfrac{25}{2}.
Confere com o resultado do Passo 2. Resultado em decimal: -\tfrac{25}{2}=-12{,}5.

Resposta

\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}=-\tfrac{25}{2}
\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}=-12{,}5

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